Α.Κί.ΔΑ

 

 

 

 

Ποιοι είναι Online

Έχουμε 297 επισκέπτες συνδεδεμένους

 

 

Η γνώμη σας μετρά

Για ποια θα θέλατε να ενημερώνεστε περισσότερο σε αυτή τη σελίδα;






Αποτελέσματα

ΑΚΙΔΑ Facebook

Πυθαγόρεια θεωρία αναλογιών

Μιχάλης Α. Πόλης

Εκπαιδευτικός

Η έννοια της αναλογίας

 Η αναλογία ορίζεται ως η ισότητα δύο λόγων. Για παράδειγμα ο λόγος 3 προς 2 ισούται με το λόγο 9 προς 6. Η αναλογία γράφεται 3/2 = 9/6. Ο Πυθαγόρας διατύπωσε έξι είδη αναλογιών σε σχέση με  τις αριθμητικές, τις γεωμετρικές και  τις αρμονικές προόδους.

Πρώτη αναλογία: Παρεμβολή αριθμητικού μέσου μεταξύ δύο αριθμών

Έστω τυχαίοι αριθμοί α, β. (α < β ) Να παρεμβληθεί αριθμός μ μεταξύ του α και του β τέτοιος ώστε οι αριθμοί α, μ, β να αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου

Εκ της σχέσεως των αριθμών έχουμε ότι:

α < μ <  β         (1)

2 μ = α + β       (2)

Η σχέση (2) προκύπτει από το γεγονός ότι οι αριθμοί α, μ, β είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου.

Þ ( μ – α ) = ( β – μ )                  (3)

Από τη σχέση (3) προκύπτει η αναλογία:

Þ ( μ – α ) / ( β – μ ) = 1

Παράδειγμα

Να παρεμβληθεί αριθμητικός μέσος μεταξύ των αριθμών 6 και 12.

Έστω ότι ο  ζητούμενος αριθμός είναι ο μ

Þ 2 μ = 6 + 12

Þ  μ = 9

Þ ( 12 – 9 ) = ( 9 – 6 )

Þ ( 12 – 9 ) /( 9 – 6 ) = 1

Η ζητούμενη τριάδα αριθμών είναι η 6, 9, 12

Παρεμβολή δύο αριθμητικών μέσων μεταξύ δεδομένων αριθμών α και β

Ζητείται να παρεμβληθούν δύο αριθμητικοί μέσοι μεταξύ δύο δεδομένων αριθμών.

Έστω ότι οι ζητούμενοι αριθμοί είναι μ, ν

Þ α < μ < ν < β

μ - α = ν – μ = β – ν = d

Þ β – α = 3 d

Þ μ = α + (β – α )/3 και ν = α + [2.(β – α )]/3

Παράδειγμα

Να παρεμβληθούν δύο αριθμητικοί μέσοι μεταξύ των αριθμών 27 και 9 και να διατυπωθεί η αναλογία:

Έστω ότι οι ζητούμενοι αριθμοί είναι μ, ν

α = 9 , β = 27

 β –α = 3 d

Þ 27 – 9 = 3 d

Þ d = 6

Þ μ = 9 +6 = 15 και ν = 27 – 6 = 21

Οι ζητούμενοι αριθμοί είναι οι 15, 21

Η ζητούμενη αναλογία είναι:

(27-21) /(21-15)= (21-15) / (15-9) =1

Σχηματίζεται η αριθμητική πρόοδος : 9, 15, 21, 27

Παρεμβολή ν αριθμητικών μέσων μεταξύ δύο δεδομένων αριθμών

 Έστω αριθμοί α, β ( α < β ) και β – α = δ

Να παρεμβληθούν ν αριθμητικοί μέσοι μεταξύ α και β.

Η παρεμβολή ν αριθμών χωρίζει το διάστημα μεταξύ α και β σε ν+1 υπό-διαστήματα, το καθένα ίσο με δ/(ν+1). Σχηματίζεται η αριθμητική πρόοδος

α, [ α + δ/(ν+1) ]  , [ α + 2δ/(ν+1) ] , [ α + 3δ/(ν+1) ]  , ... [ α + νδ/(ν+1) ] , β

Μπορούμε να διατυπώσουμε την αναλογία:  

{[ α + δ/(ν+1) ] – α } / [ α + 2δ/(ν+1) ] - [ α + δ/(ν+1) ] ={[ α + 6δ/(ν+1) ] - [ α + 5δ/(ν+1) ]} / {[ α + 4δ/(ν+1) ] - [ α + 3δ/(ν+1) ]}= ..... = 1 

  

Δεύτερη Αναλογία: Παρεμβολή γεωμετρικού μέσου

 Έστω σύνθετος αριθμός μ. Να βρεθούν αριθμοί α, β τέτοιος ώστε οι α, μ, β να αποτελούν διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου. α < μ < β

α, μ, β διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου

Þ β / μ = μ / α

Þ μ² = α .β

Παράδειγμα

Έστω μ = 6. Να βρεθούν αριθμοί α, β τέτοιοι ώστε α, μ, β να αποτελούν διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου

μ² = α. β

36 = α. β

Þ α = 2 , β= 18 ή α = 4 , β= 9

1η λύση: 2, 6, 18

2η λύση: 4, 6, 9

Έστω ακέραιοι αριθμοί μ, ν. Να βρεθούν αριθμοί α, β τέτοιοι ώστε οι α, μ, ν, β να αποτελούν διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου.

α, μ, ν, β διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου

Þ β / ν = ν / μ = μ / α

Þ β = ν²/ μ,  α = μ² /ν

Παράδειγμα

Έστω μ = 6, ν = 18. Να βρεθούν αριθμοί α, β τέτοιοι ώστε α, μ, ν,  β να αποτελούν διαδοχικούς όρους γεωμετρικής προόδου

β = ν²/ μ και

Þ β = 18²/ 6 και α= 6²/ 18

Þ β = 54, α = 2

Οι ζητούμενοι αριθμοί είναι 2, 6, 18, 54

Γενικά αν οι αριθμοί α, β, γ, δ, ε.....ανήκουν σε γεωμετρική πρόοδο τότε έχουμε την αναλογία:

α /β = β/ γ = γ /δ = δ / ε =....

 Τρίτη Αναλογία: Παρεμβολή αρμονικού μέσου

Έστω οι ρητοί αριθμοί α, β. Να προσδιοριστεί ρητός μ τέτοιος ώστε 1/α, 1/μ, 1/β να αποτελούν διαδοχικούς όρους αριθμητικής προόδου.

1/α, 1/μ, 1/β διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου

Þ 2/μ = 1/α + 1/β             (1)

Þ 2/μ = ( α +β )/α β

Þ μ = 2α β/( α +β )

Παραδείγματα

 1.Να βρεθεί ο αρμονικός μέσος των αριθμών 3 και 15

 Έστω ότι ο ζητούμενος αριθμός είναι ο μ

Þ 1/3 , 1/μ , 1/15 διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου

Þ 2/μ = 1/3 + 1/15

Þ 2/μ = 6/15

Þ μ = 5

2. Να βρεθεί ο αριθμητικός, γεωμετρικός και αρμονικός μέσος των αριθμών 10 και 40

Έστω μ ο αριθμητικός μέσος

Þ 10, μ, 40 διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου

Þ 2μ = 10+40

Þμ = 25

Έστω ν ο ζητούμενος γεωμετρικός μέσος

Þ 10, ν, 40 διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου

Þ ν² = 10.40

Þν = 20

Έστω ξ ο ζητούμενος γεωμετρικός μέσος

Þ 1/10, 1/ξ, 1/40 διαδοχικοί όροι γεωμετρικής προόδου

Þ 2/ξ = 1/10 + 1/40

Þ 2/ξ  = 5/40

Þ ξ  = 16

Να αποδειχθεί ότι αν α, β, γ ακέραιοι και β ο αρμονικός μέσος των α και γ (α<γ) , τότε ο λόγος γ / α ισούται με το λόγο (γ-β)/(β-α)

Απόδειξη:

2/β = 1/α + 1/γ

Þ 2/β = (α + γ ) /α γ

β = 2αγ / (α + γ)                        (1)

Αντικαθιστούμε το β με  2αγ / (α + γ) στο λόγο (γ-β)/(β-α)

(γ-β)/(β-α) = { γ – [2αγ / (α + γ)  ]} / { [2αγ / (α + γ)  ] –α )

Þ(γ-β)/(β-α) = ( γ² - α γ ) / ( α γ - α² ) 

Þ(γ-β)/(β-α) = [γ ( γ  - α  )] / [α (  γ - α )] 

Þ(γ-β)/(β-α) = γ / α 

Η πιο πάνω σχέση αποτελεί την αρμονική αναλογία. Αυτό σημαίνει ότι αν ισχύει, τότε οι α, β, γ σχηματίζουν αρμονική πρόοδο.

Τέταρτη Πυθαγόρεια αναλογία

Έστω ακέραιοι αριθμοί α, β, γ με α < β < γ. Οι αριθμοί αυτοί σχηματίζουν την 4η πυθαγόρεια αναλογία, τότε και μόνο τότε, αν ο λόγος του μεγαλύτερου προς το μικρότερο αριθμό, ισούται με το λόγο της διαφοράς του μεσαίου από το μικρότερο αριθμό, προς τη διαφορά του μεγαλύτερου προς το μεσαίο αριθμό, δηλαδή:

γ /α = (β-α) / (γ-β)

Παράδειγμα:

Έστω ότι οι αριθμοί 2 , μ , 14 ανήκουν στην τέταρτη πυθαγόρεια αναλογία. Να υπολογιστεί ο μ.

5 = ( μ-2) / (14 – μ )

Þ 70 – 5 μ = μ – 2

Þ 72  = 6 μ

Þ μ = 12

Πέμπτη Πυθαγόρεια αναλογία

Έστω ακέραιοι αριθμοί α, β, γ με α < β < γ. Οι αριθμοί αυτοί σχηματίζουν την 5η πυθαγόρεια αναλογία, τότε και μόνο τότε, αν ο λόγος του μεσαίου προς το μικρότερο αριθμό, ισούται με το λόγο της διαφοράς του μεσαίου από το μικρότερο αριθμό, προς τη διαφορά του μεγαλύτερου προς το μεσαίο αριθμό, δηλαδή:

β /α = (β-α) / (γ-β)

Παράδειγμα 1

Έστω ότι οι αριθμοί 2 , μ , 5 ανήκουν στην πέμπτη πυθαγόρεια αναλογία. Να υπολογιστεί ο μ.

μ/2 = ( μ-2) / (5 – μ )

Þ μ = 2 ( μ -2 ) / (5 – μ )

Þ 5 μ - μ² = 2μ – 4

Þ μ² - 3μ – 4 = 0

Þ μ = [3 ± √( 9 +16 )]/2

Þ μ = 4

Παράδειγμα 2

Έστω ότι οι αριθμοί μ , 2μ , 25 ανήκουν στην πέμπτη πυθαγόρεια αναλογία. Να υπολογιστούν οι αριθμοί της αναλογίας.

2 = μ / ( 25 – 2 μ )

Þ 50 – 4μ = μ

Þ μ = 10

Οι ζητούμενοι αριθμοί είναι: 10, 20, 25

Έκτη Πυθαγόρεια αναλογία

Έστω ακέραιοι αριθμοί α, β, γ με α < β < γ. Οι αριθμοί αυτοί σχηματίζουν την 6η πυθαγόρεια αναλογία, τότε και μόνο τότε, αν ο λόγος του μεγαλύτερου προς το μεσαίο αριθμό, ισούται με το λόγο της διαφοράς του μεσαίου από το μικρότερο αριθμό, προς τη διαφορά του μεγαλύτερου προς το μεσαίο αριθμό, δηλαδή:

γ /β = (β-α) / (γ-β)

Παράδειγμα

Έστω ότι οι ακέραιοι αριθμοί 1 , μ , 6 ανήκουν στην έκτη πυθαγόρεια αναλογία. Να υπολογιστεί ο μ.

6/μ = ( μ-1) / (6 – μ )

Þ μ ( μ – 1) = 36 – 6μ

Þ μ² + 5μ -36 = 0

Þ μ = [- 5 ± √( 25+144 )]/2

Þ μ = [- 5 ± 13 ]/2

Þ μ = 4

Επίλογος

 Η μελέτη του παραθέσαμε αποτελεί μια εισαγωγή στην πυθαγόρεια θεωρία των αναλογιών. Οι εργασίες του Πυθαγόρα απετέλεσαν τις στέρεες βάσεις επί των οποίων τα μαθηματικά θεμελιώθηκαν ως σήμερα.

 

Εκπαιδευτικό Υλικό

 

facebook Twitter YouTube
Τελευταία Ενημέρωση:
Πέμπτη,
09/05/2019 11:38