Α.Κί.ΔΑ

 

 

 

 

Ποιοι είναι Online

Έχουμε 172 επισκέπτες συνδεδεμένους

 

 

Η γνώμη σας μετρά

Για ποια θα θέλατε να ενημερώνεστε περισσότερο σε αυτή τη σελίδα;






Αποτελέσματα

ΑΚΙΔΑ Facebook

Διακρίνουσα και ρίζες της δευτεροβάθμιας εξίσωσης

Μ. Πόλης εκπαιδευτικός

Στο προηγούμενο άρθρο είχαμε δείξει ότι οι ρίζες της εξίσωσης αχ² + β χ + γ = 0 δίνονται από τον τύπο χ = [- β ± √ (β² -4αγ ]/2α }. Παρατηρούμε ότι στον τύπο αυτό η ποσότητα  β² -4αγ βρίσκεται μέσα σε ρίζα. Αν είναι θετική, 0 ή αρνητική, ανάλογα διαφοροποιείται το είδος των ριζών της εξίσωσης, όπως θα δούμε πιο κάτω. Ονομάζουμε την ποσότητα (β² -4αγ) διακρίνουσα της εξίσωσης του 2ου βαθμού και τη συμβολίζουμε με Δ. Το όνομα αυτό δίνεται επειδή η αλγεβρική αυτή ποσότητα μας βοηθά να διακρίνουμε το είδος των ριζών της εξίσωσης.  Έχουμε λοιπόν:

Δ = β² -4αγ

Άρα μπορούμε να γράψουμε: χ = (- β ± √ Δ )/2α .

Είδος ριζών ανάλογα με τη διακρίνουσα

  1. Δ > 0

Στην περίπτωση αυτή η ποσότητα εντός της ρίζας είναι θετική και άρα η δευτεροβάθμια εξίσωση έχει δύο πραγματικές ρίζες.

Παράδειγμα: Να βρεθεί το είδος των ριζών της εξίσωσης χ² - 5χ +6 =0.

Έχουμε β = -5, α=1 και γ=6

Δ= β² -4αγ

→ Δ= (-5)² -(4.1.6)

→ Δ= 25 – 24 =1

→ Δ > 0

Η εξίσωση έχει δύο πραγματικές ρίζες. Αυτές είναι:

Ρ1 = (- β + √ Δ )/2 α = (5 + 1)/2 = 3

και

Ρ2 = (- β - √ Δ )/2 α = (5 - 1)/2 = 2

Είναι φανερό ότι όταν το α και γ είναι ετερόσημα, η διακρίνουσα είναι πάντα θετική, και άρα έχει δύο πραγματικές ρίζες.

  1. Δ = 0

Στην περίπτωση αυτή  η δευτεροβάθμια εξίσωση έχει μια ρίζα ίση με –β/2 α.

Παράδειγμα: Να βρεθεί το είδος των ριζών της εξίσωσης χ² - 10χ +25=0 .

Έχουμε β = -10, α=1 και γ=25

Δ= β² -4αγ

→ Δ= (-10)² -(4.1.25)

→ Δ= 100 – 100 =0

Η εξίσωση έχει μια διπλή πραγματική ρίζα. Αυτή είναι:

Ρ1 = (- β )/2 α = (10)/2 = 5

  1. Δ < 0

Η ρίζα ενός αρνητικού αριθμού είναι φανταστικός αριθμός και στην περίπτωση αυτή η εξίσωση μας έχει δύο μιγαδικές ρίζες. Το παράδειγμα που ακολουθεί εξηγεί τη κατάσταση:

Παράδειγμα: Να βρεθεί το είδος των ριζών της εξίσωσης χ² + χ + 3=0 .

Έχουμε β = 1, α=1 και γ = 3

Δ= β² -4αγ

→ Δ= 1² -(4.1.3)

→ Δ = – 11

→ Δ < 0

Η εξίσωση έχει δύο μιγαδικές ρίζες. Αυτές είναι:

Ρ1 = (- 1 + √ (-11) )/2 = (-1 +i √ 11)/2

και

Ρ2 = (- 1 + √ (-11) )/2 = (-1 + i √ 11)/2

Στο σημείο αυτό τελειώνει το δεύτερο άρθρο. Στο επόμενο άρθρο θα ασχοληθούμε με τις σχέσεις των συντελεστών και των ριζών της εξίσωσης του 2ου βαθμού.

 

Εκπαιδευτικό Υλικό

 

facebook Twitter YouTube
Τελευταία Ενημέρωση:
Παρασκευή,
12/07/2019 10:28