Α.Κί.ΔΑ

 

 

 

 

Ποιοι είναι Online

Έχουμε 116 επισκέπτες συνδεδεμένους

 

 

Η γνώμη σας μετρά

Για ποια θα θέλατε να ενημερώνεστε περισσότερο σε αυτή τη σελίδα;






Αποτελέσματα

ΑΚΙΔΑ Facebook

Ρίζες και συντελεστές της δευτεροβάθμιας εξίσωσης

Μιχάλης Πόλης

εκπαιδευτικός

Εισαγωγή

Στην εξίσωση ΑΧ² + ΒΧ + Γ = 0, οι σταθεροί αριθμοί Α, Β, Γ ονομάζονται συντελεστές, ενώ οι τιμές Χ1 ,  Χ2 που την επαληθεύουν, ονομάζονται ρίζες της εξίσωσης. Στο άρθρο αυτό θα οριοθετήσουμε τη σχέση μεταξύ ριζών και συντελεστών.

Ανάπτυξη

ΑΧ² + ΒΧ + Γ = 0

→ Χ² + (ΒΧ)/Α + Γ/Α = 0                              (1)

Εφόσον οι ρίζες Χ1 , Χ2 επαληθεύουν την (1) μπορούμε να γράψουμε:

Χ² + (ΒΧ)/Α + Γ/Α = ( Χ- Χ1  ) (Χ -  Χ2) = 0

→ Χ² + (ΒΧ)/Α + Γ/Α = Χ² - Χ ( Χ1 +  Χ2) + Χ1 Χ2 = 0

→ - Β/Α = Χ1 +  Χ2 και Χ1 Χ2 = Γ/Α

Παράδειγμα 1

Να βρεθεί το άθροισμα και το γινόμενο των ριζών της εξίσωσης 2Χ² + 5 Χ - 10 = 0

Έστω οι ζητούμενες ρίζες Χ1 και Χ2

→ Χ1 + Χ2 = - 5/2 και Χ1 Χ2 = - 5

Επαλήθευση

Με βάση το σχετικό τύπο που έχουμε αποδείξει σε προηγούμενο άρθρο έχουμε:

Χ1 = (-5 + √105 )/ 4  και  Χ2 =(-5 - √105 )/ 4

→ Χ1 + Χ2 =( -10 +√105 - √105 )/ 4

→ Χ1 + Χ2 = - 5/2

Χ1 Χ2 = (-5 + √105 )(-5 - √105 )/ 16

→ Χ1 Χ2 = ( 25 - 105 )/ 16

→ Χ1 Χ2 = - (80 / 16) = - 5

Παράδειγμα 2

Να βρεθεί η εξίσωση της δευτεροβάθμιας εξίσωσης με άθροισμα ριζών – 4 και γινόμενο -3.

1η λύση

Έστω Χ1 και Χ2 οι ρίζες της ζητούμενης εξίσωσης

→ Χ1 + Χ2 = - 4 = -Β/Α και Χ1 Χ2 = - 3 = Γ/Α

→ Η ζητούμενη εξίσωση είναι Χ² + 4Χ – 3 = 0

2η λύση

Χ1 + Χ2 = - 4 και Χ1 Χ2 = -3

→ - Χ1 ( 4 + Χ1 ) = - 3

→  Χ1 ( 4 + Χ1 ) =  3

→  Χ²1 + 4 Χ1 -  3 = 0      (1)

Θέτοντας όπου Χ1 = Χ στην (1), χωρίς επηρεασμό της γενικότητας προκύπτει: Χ² + 4 Χ -  3 = 0

Επίλογος

Η εξίσωση του 2ου βαθμού μπορεί να λυθεί όχι μόνο αλγεβρικά αλλά και γεωμετρικά, η γεωμετρική κατασκευή όμως των ριζών της θα μας απασχολήσει στο επόμενο άρθρο.

 

Εκπαιδευτικό Υλικό

 

facebook Twitter YouTube
Τελευταία Ενημέρωση:
Παρασκευή,
02/08/2019 16:10