Α.Κί.ΔΑ

 

 

 

 

Ποιοι είναι Online

Έχουμε 189 επισκέπτες συνδεδεμένους

 

 

Η γνώμη σας μετρά

Για ποια θα θέλατε να ενημερώνεστε περισσότερο σε αυτή τη σελίδα;






Αποτελέσματα

ΑΚΙΔΑ Facebook

Γεωμετρική επίλυση εξίσωσης 2ου βαθμού

Γεωμετρική επίλυση εξισώσεων δευτέρου βαθμού με πραγματικές ρίζες

Εισαγωγή

Σε προηγούμενο άρθρο είχαμε αποδείξει τις σχέσεις των συντελεστών και των ριζών της εξίσωσης δευτέρου βαθμού. Είχαμε δείξει ότι στην εξίσωση Χ² + ΒΧ/Α +Γ/Α=0 ισχύει ότι Χ1 + Χ2 = - Β/Α και Χ1 . Χ2 = Γ/Α.

Θέτοντας -Β/Α = S και Γ/Α = P η εξίσωση μας παίρνει την απλούστερη μορφή  Χ² - SΧ + P=0 όπου P= Χ1 . Χ2 και S =Χ1 + Χ2 . Θα προσπαθήσουμε να παραστήσουμε γεωμετρικά το άθροισμα και το γινόμενο της εξίσωσης.

Γεωμετρική επίλυση της εξίσωσης του δευτέρου βαθμού

 

Πάνω σε ευθεία Ε παίρνουμε τμήματα ΑΒ = Χ1 και ΒΓ = Χ2. Έστω Κ το μέσο του ΑΓ. Έχουμε ΑΓ = S και ΑΚ = S/2. Με κέντρο Κ και ακτίνα ΑΚ = S/2 χαράσσουμε ημικύκλιο. Από το Β φέρνουμε την κάθετο επί της ΑΓ που τέμνει το ημικύκλιο στο Δ. Γράφουμε τα τμήματα ΑΔ και ΓΔ. Είναι προφανές ότι τα ορθογώνια τρίγωνα ΔΑΓ , ΒΑΔ και ΒΔΓ είναι όμοια. Εκ της ομοιότητας των τριγώνων προκύπτει:

ΒΔ² = ΑΒ.ΒΓ δηλαδή P = ΒΔ²

Ακολούθως φέρουμε τμήμα ΒΕ = 1 επί της ΑΓ    (ΑΕ = Χ1 – 1 ), Φέρουμε την ΕΔ και ακολούθως γράφουμε τη ΔΖ κάθετη επί της ΕΔ και Ζ σημείο της Ε. Βρίσκουμε το μέσο της ΕΖ το οποίο ονομάζουμε Κ΄ και γράφουμε ημιπεριφέρεια με ακτίνα Κ΄Ε. Θα αποδείξουμε ότι ΒΖ = P.

Απόδειξη

ΕΖ = 2ΔΚ΄

→ ΒΖ = 2ΔΚ΄ - 1

→ ΔΚ΄ = ½ ( ΒΖ + 1 )

ΒΚ΄ = ΒΖ – Κ΄Δ

→ ΒΚ΄ = ΒΖ - ½ ( ΒΖ + 1 )

→ ΒΚ΄ = ½ ( ΒΖ - 1 )

Εκ του πυθαγορείου θεωρήματος έχουμε:

ΒΔ² = ΔΚ΄² - ΒΚ΄²

→ ΒΔ² = [½ ( ΒΖ + 1 )]² – [½ ( ΒΖ - 1 )]²

→ ΒΔ² = {[½ ( ΒΖ + 1 )] + [½ ( ΒΖ - 1 )]} {[½ ( ΒΖ + 1 )] - [½ ( ΒΖ - 1 )]}

→ ΒΔ² = ΒΖ

→  ΒΖ = P = Χ1 . Χ2

Έχουμε αποδείξει ότι το τμήμα ΒΖ αντιπροσωπεύει το γινόμενο των ριζών της εξίσωσης, δηλαδή ότι οι σταθερές της δευτεροβαθμίου εξισώσεως μπορούν να κατασκευαστούν γεωμετρικά. Στο σημείο αυτό η απόδειξη έχει ολοκληρωθεί.

Μ. Πόλης

Εκπαιδευτικός

 

 

Εκπαιδευτικό Υλικό

 

facebook Twitter YouTube
Τελευταία Ενημέρωση:
Παρασκευή,
12/07/2019 10:28