Α.Κί.ΔΑ

 

 

 

 

Ποιοι είναι Online

Έχουμε 165 επισκέπτες συνδεδεμένους

 

 

Η γνώμη σας μετρά

Για ποια θα θέλατε να ενημερώνεστε περισσότερο σε αυτή τη σελίδα;






Αποτελέσματα

ΑΚΙΔΑ Facebook

Διοφαντική ανάλυση πρώτου βαθμού με δύο αγνώστους

Εισαγωγή

Ένα από τα αρχαιότερα προβλήματα της Θεωρίας Αριθμών είναι η αναζήτηση των ακέραιων αριθμών που ικανοποιούν εξισώσεις με περισσότερες της μιας μεταβλητής.. Ο κλάδος που ασχολείται με αυτό το ζήτημα ονομάζεται Διοφαντική Ανάλυση προς τιμήν του Διόφαντου (250 περίπου μ.Χ.), που ασχολήθηκε συστηματικά με τέτοιου είδους προβλήματα στο έργο του "Αριθμητικά". Στο άρθρο αυτό θα ασχοληθούμε με την εύρεση των θετικών και ακέραιων λύσεων της εξίσωσης πρώτου βαθμού της μορφής αχ + β ψ = γ          (α, β ≠ 0) και α, β, γ

Πότε η εξίσωση αχ + β ψ = γ έχει  ακέραιες λύσεις;

Η ύπαρξη ή όχι ακεραίων λύσεων διερευνάται με βάση τους ακόλουθους κανόνες-θεωρήματα

  1. Αν οι ακέραιοι συντελεστές α, β έχουν κοινό διαιρέτη, τον όποιο δεν έχει ο γ τότε η εξίσωση δεν έχει ακέραιες λύσεις.

Απόδειξη με την εις άτοπον απαγωγή:

Έστω δ ο κοινός διαιρέτης των α και β.

Προφανώς μπορούμε να πούμε ότι: α = δε και β = δζ.   [ε, ζ  ]

Έστω οι ακέραιες λύσεις της εξίσωσης είναι χ = λ και ψ= μ.

δελ + δζμ = γ

δ (ελ + ζμ) = γ  [ και έστω (ελ + ζμ) = ν ]

γ = δ ν το οποίο είναι άτοπο εφόσον με βάση την αρχική μας παραδοχή το γ δεν έχει κοινό παράγοντα με τους συντελεστές α, β.

  1. Αν οι ακέραιοι συντελεστές α, β των χ και ψ στην εξίσωση  αχ + β ψ = γ είναι πρώτοι μεταξύ τους τότε η προαναφερθείσα εξίσωση έχει μια τουλάχιστο ακέραια λύση.

Απόδειξη με την εις άτοπον απαγωγή:

αχ + β ψ = γ

χ = ( γ – β ψ ) / α

Έστω ότι ψ = 0, 1, 2, 3, ….μ, ….ν……(α – 1)

Θα αποδείξουμε ότι για κάθε τιμή που παίρνει ο ψ το πηλίκο (γ – β ψ)/α έχει  διαφορετικό υπόλοιπο.

Απόδειξη με την εις άτοπον απαγωγή:

Έστω ότι υπάρχουν δύο τιμές του ψ, η ψ =μ και ψ =ν για τις οποίες το πηλίκο (γ – β ψ)/α έχει το ίδιο υπόλοιπο

Έστω ότι (γ – β μ)/α = π + υ/α                    (υ<α)  και (γ – β ν)/α = π΄ + υ/α

→ γ – β μ = απ + υ            (1)

και γ – β ν = απ΄ + υ           (2)

Αφαιρώντας από τη (1) την (2) έχουμε β ( ν – μ ) = α ( π – π΄)

Προφανώς το α αφού είναι παράγοντας του α ( π – π΄) είναι επίσης παράγοντας του β ( ν – μ ). Όμως το α δεν είναι παράγοντας του β, αφού είναι μεταξύ τους πρώτοι, ούτε παράγοντας του ν-μ αφού α > ν > μ > ν-μ > 0

Προφανώς η αρχική μας υπόθεση ότι μπορεί να έχουμε δύο ίσα υπόλοιπα στη διαίρεση (γ – β ψ)/α είναι άτοπη και προφανώς ένα από τα α υπόλοιπα της διαίρεσης είναι μηδέν. Άρα η εξίσωση έχει ένα ζεύγος ακεραίων λύσεων στο διάστημα 0 ≤ ψ ≤ (α-1)

  1. Δεδομένου ενός ζεύγους (Χ0,  Ψ0 ) ακεραίων λύσεων της εξίσωσης α Χ + β Ψ = γ υπάρχουν άπειρα ζεύγη ακεραίων λύσεων

Απόδειξη  :  α Χ + β Ψ = γ

α Χ0 + β Ψ0 = γ  με α και β πρώτους μεταξύ τους εκ του θεωρήματος 2

Αφαιρούμε κατά μέλη:

→ α ( Χ - Χ0 ) + β ( Ψ - Ψ0 )=0

→  Χ - Χ0  = - β ( Ψ - Ψ0 )/α

→  Χ = Χ0   - β ( Ψ - Ψ0 )/α

Όταν ( Ψ - Ψ0 )/α ακέραιος τότε και Χ ακέραιος αν θέσουμε ( Ψ - Ψ0 )/α = λ με λ  Ζ έχουμε:

Χ = Χ0   - β λ και Ψ = Ψ0   +α λ

Θέτοντας λ = 1, 2, 3, …μπορούμε να πάρουμε όσες ακέραιες τιμές των Χ και Ψ θέλουμε.

Παραδείγματα

  1. Να βρεθούν οι ακέραιες λύσεις της εξίσωσης  5χ + 13ψ = 8.

Για ψ=  1 έχουμε χ = -1

Έχομε λοιπόν: χ = - 1 – 13 λ και ψ =  1 + 5 λ. Θέτοντας ακέραιες τιμές στο λ έχουμε όσες λύσεις θέλουμε:

λ

χ

ψ

λ

χ

ψ

1

-14

6

6

-79

31

2

-27

11

7

-92

36

3

-40

16

8

-105

41

4

-53

21

9

-118

46

5

-66

26

10

-131

51

  1. Να ευρεθεί διψήφιος αριθμός, ο οποίος, όταν αντιστρέψουμε τα ψηφία του γίνεται κατά 18 μικρότερος.

Έστω ο ζητούμενος αριθμός χ ψ. Από την εκφώνηση του προβλήματος προκύπτει:

(10 χ + ψ ) – ( 10 ψ + χ ) = 18

→ χ – ψ = 2

Είναι φανερό ότι ο ζητούμενος αριθμός έχει το ψηφίο των δεκάδων κατά δύο μεγαλύτερο από το ψηφίο των μονάδων. Οι λύσεις λοιπόν είναι οι αριθμοί 20, 31, 42, 53, 64, 75, 86, 97

  1. Να αναλυθεί το καταχρηστικό κλάσμα 77/65 σε άθροισμα ή διαφορά δύο άλλων κλασμάτων με παρονομαστές το 5 και το 13.

Α) Άθροισμα:

Έστω οι ζητούμενοι ακέραιοι αριθμητές χ και ψ

→ χ/5 + ψ/13 = 77/65

→ 13χ + 5 ψ = 77  με α = 13 και β = 5

→ χ = 4 και ψ=5

→ χ = 4 – 5 λ και ψ = 5 + 13 λ

Για λ = 1,  χ = - 1 και ψ = 18

Για λ = 2,  χ = - 6 και ψ = 31

Για λ = 3,  χ = - 11 και ψ = 44 κοκ

β) Διαφορά:

Έστω οι ζητούμενοι ακέραιοι αριθμητές χ και ψ

→ χ/5 - ψ/13 = 77/65

→ 13χ - 5 ψ = 77  με α = 13 και β = -5

→ χ = 9 και ψ=8

→ χ = 9 + 5 λ και ψ = 8 + 13 λ

Για λ = 1,  χ = 14 και ψ = 21

Για λ = 2,  χ = 19 και ψ = 34

Για λ = 3,  χ = 24 και ψ = 47 κοκ

Μιχάλης Πόλης

Εκπαιδευτικός


 

Εκπαιδευτικό Υλικό

 

facebook Twitter YouTube
Τελευταία Ενημέρωση:
Παρασκευή,
02/08/2019 16:10