Α.Κί.ΔΑ

 

 

 

 

Ποιοι είναι Online

Έχουμε 257 επισκέπτες συνδεδεμένους

 

 

Η γνώμη σας μετρά

Για ποια θα θέλατε να ενημερώνεστε περισσότερο σε αυτή τη σελίδα;






Αποτελέσματα

ΑΚΙΔΑ Facebook

Διοφαντικά συστήματα 2 εξισώσεων με τρεις αγνώστους

Ακέραιες και θετικές λύσεις συστήματος δύο εξισώσεων με τρεις αγνώστους

Στο άρθρο αυτό θα λύσουμε διοφαντικά συστήματα και προβλήματα με τρεις αγνώστους που διατάσσονται όμως σε μόνο δύο εξισώσεις. Πρόκειται για ανοικτά συστήματα με άπειρες λύσεις. Ο στόχος όμως είναι η εξεύρεση των θετικών και ακέραιων λύσεων, όπου αυτές υπάρχουν.

  1. Έστω το σύστημα

5χ + 3ψ + 6ω = 135                  (1)

2χ + ψ + ω = 34                     (2)

Πολλαπλασιάζω την εξίσωση (2) επί 3 και την αφαιρώ από την (1)

5χ + 3ψ + 6ω = 135                  (1)

-6χ - 3ψ - 3ω = -102                     (3)

- χ + 3ω = 33

→ ω = (33 + χ)/3

Για χ=3, ω=12 και ψ = 16

Για χ=6, ω=13 και ψ = 9

Για χ=9, ω=14 και ψ = 2

Για χ=12, ω=15 και ψ = -5 , λύση που δεν είναι αποδεκτή γιατί το ψ είναι αρνητικό

  1. Να βρεθούν οι ακέραιες και θετικές λύσεις του συστήματος εξισώσεων

3χ + 5ψ + 6ω = 104                  (1)

9χ + 3ψ + 8ω = 164                     (2)

Πολλαπλασιάζω την εξίσωση (1) επί 3 και αφαιρώ την (2)από το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού:

9χ + 15ψ + 18ω = 312

-9χ - 3ψ - 8ω = -164

12ψ + 10ω = 148

→6ψ + 5ω = 74

→ ω = (74 – 6ψ)/5 και αναγκαία συνθήκη το ω να είναι ακέραιο :

(74 – 6ψ) πολλαπλάσιο του 5

→ ψ = 4,  ω=10 και χ=8  (Αποδεκτή λύση)

→ ψ = 9,  ω=4 και χ=35/3 άκυρο γιατί χ καταχρηστικό κλάσμα.

  1. Να βρεθούν τρεις ακέραιοι θετικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε αν πολλαπλασιαστούν αντίστοιχα  επί 3, 5, 7 το άθροισμα των  γινομένων να ισούται με 560. Αντίστοιχα αν πολλαπλασιαστούν επί 9, 25 και 49 το άθροισμα των γινομένων να ισούται με 2920.

Έστω χ, ψ, ω οι αντίστοιχοι αριθμοί

→ 3χ + 5ψ + 7ω = 560                  (1)

και 9χ + 25ψ + 49ω = 2920          (2)

Πολλαπλασιάζω την εξίσωση (1) επί 7 και αφαιρώ την (2)από το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού:

21χ + 35ψ + 49ω = 3920

-9χ - 25ψ - 49ω = -2920                     (3)

12χ + 10ψ = 1000

→6χ + 5ψ = 500

→ ψ = (500 – 6χ)/5 και αναγκαία συνθήκη το (500 – 6χ) πολλαπλάσιο του 5. Επίσης 500-6χ>0

→ χ=5  ψ = 94,  ω=75/7 (μη αποδεκτή λύση γιατί ω καταχρηστικό κλάσμα)

→ χ=10  ψ = 88,  ω=90/7 (μη αποδεκτή λύση γιατί ω καταχρηστικό κλάσμα)

→ χ=15  ψ = 82,  ω= 15 αποδεκτή λύση

→ χ=50  ψ = 40,  ω= 30 αποδεκτή λύση

Για χ=85 ψ=-2 και η λύση δεν είναι αποδεκτή γιατί υπάρχει αρνητικός αριθμός,

  1. Να βρεθεί τριψήφιος αριθμός  με άθροισμα ψηφίων 6, ο οποίος μένει ο ίδιος αν τα ψηφία του αλλάξουν σειρά.

Αν ονομάσουμε τον αριθμό χ ψ ζ τότε έχουμε:

Χ + ψ + ζ = 6

100χ + 10ψ + ζ = 100ζ + 10ψ +χ

→ 99 (χ – ζ) = 0 ή χ = ζ

Λύσεις: χ = 1 ζ= 1 , ψ = 4 και ο ζητούμενος αριθμός ισούται με 141

Η λύση των διοφαντικών συστημάτων αποτελεί σημαντικό κλάδο της στοιχειώδους άλγεβρας. Η λύση τους μπορεί να βρει εφαρμογές  όχι μόνο σε θεωρητικά αλλά και σε πρακτικά προβλημάτων. Το θέμα αυτό όμως θα αποτελέσει το περιεχόμενο ενός άλλου άρθρου.

Μιχάλης Α. Πόλης

Εκπαιδευτικός

 

Εκπαιδευτικό Υλικό

 

facebook Twitter YouTube
Τελευταία Ενημέρωση:
Πέμπτη,
09/05/2019 11:38