Α.Κί.ΔΑ

 

 

 

 

Ποιοι είναι Online

Έχουμε 289 επισκέπτες συνδεδεμένους

 

 

Η γνώμη σας μετρά

Για ποια θα θέλατε να ενημερώνεστε περισσότερο σε αυτή τη σελίδα;






Αποτελέσματα

ΑΚΙΔΑ Facebook

Φτιάχνοντας μαθηματικές εικασίες στα χνάρια του Γκολντπαχ

Στα Μαθηματικά υπάρχουν προτάσεις που ολοφάνερα φαντάζουν ορθές, όμως η απόδειξη τους αποτελεί άλυτη σπαζοκεφαλιά που βασανίζει για αιώνες τους καλύτερους μαθηματικούς. Μια τέτοια προφανής πλην αναπόδεικτη μαθηματική πρόταση είναι η εικασία του Goldbach

Το 1742 ο Christian Goldbach έστειλε  μια  επιστολή στο σπουδαίο μαθηματικό Leonhard Euler, στην οποία διατύπωνε την πρόταση  ότι κάθε ακέραιος αριθμός μεγαλύτερος του 5 μπορεί να γραφτεί ως άθροισμα τριών πρώτων¹. Ο Euler απάντησε αναδιατυπώνοντας την εικασία στη σημερινή της μορφή ως εξής: «Κάθε άρτιος αριθμός μπορεί να γραφεί ως άθροισμα δύο πρώτων». Η διατύπωση αυτή ονομάζεται ως η “ισχυρή² ” ή “δυαδική” εικασία του Γκόλνμπαχ.

Η διατύπωση του Euler είναι προφανής αν ισχύει η πρόταση του Goldbach, εφόσον αν κάθε ακέραιος μπορεί να γραφεί ως άθροισμα τριών πρώτων, προφανώς ο ένας εκ των τριών, στην περίπτωση των αρτίων, θα είναι ο αριθμός δύο. Σε κάθε περίπτωση, ο Euler,, μαθηματικός πρώτου μεγέθους δεν κατόρθωσε να αποδείξει την δυαδική εικασία του Goldbach.  Έκτοτε τα καλύτερα μαθηματικά μυαλά της ανθρωπότητας μάταια προσπαθούν να υποτάξουν την προφανή εκ πρώτης όψεως, πλην ανεπίδεκτη αποδείξεως πρόταση.

Ενώ κανείς δεν έχει υποδείξει κάποιο αντιπαράδειγμα άρτιου αριθμού που να μην μπορεί να γραφεί ως άθροισμα δύο πρώτων, το  ενδεχόμενο αυτό δεν μπορεί να αποκλειστεί πέραν πάσης αμφιβολίας, στο άπειρο σύμπαν των φυσικών αριθμών.

Μια ακόμα μαθηματική εικασία

«Αν α, β, γ διαδοχικοί πολύ μεγάλοι πρώτοι αριθμοί [ α < β < γ ] τότε όταν οι αριθμοί τείνουν στο άπειρο ισχύει ότι:

lim [( α² + β² - γ² ) / α. β ] = 1

α → ∞

Από πού  προκύπτει όμως ένα τέτοιο μη προφανές συμπέρασμα; Θα προσπαθήσω να το εξηγήσω  με την πιο κάτω  αφήγηση:

Όλοι ξέρουμε ότι  πρώτοι ονομάζονται οι αριθμοί που διαιρούνται μόνο με τη μονάδα και τον εαυτό τους. Ο κατάλογος των πρώτων που είναι μικρότεροι του 100, είναι:

[ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47,53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 ]

Διαδοχικοί ονομάζονται δύο πρώτοι αριθμοί αν όλοι οι αριθμοί που παρεμβάλλονται ενδιάμεσα τους είναι σύνθετοι. Για παράδειγμα το 53 και το 59 είναι διαδοχικοί πρώτοι, εφόσον οι φυσικοί αριθμοί 54, 55, 56, 57και 58 είναι  σύνθετοι.

Με τους 25 αρχικούς πρώτους που γράψαμε πιο πάνω μπορούμε να γράψουμε 23 τριάδες διαδοχικών πρώτων. Πιο κάτω γράφουμε τις πρώτες εφτά από αυτές τις  τριάδες.

[2, 3, 5], [3, 5, 7], [5, 7, 11], [7, 11, 13], [11, 13, 17], [13, 17, 19]

Είναι φανερό ότι, εφόσον υπάρχουν άπειροι πρώτοι, θα υπάρχουν και άπειρες τριάδες διαδοχικών πρώτων.

Με εξαίρεση την πρώτη τριάδα, όλες οι επόμενες  θα μπορούσαν να αντιστοιχούν στο μήκος πλευρών σκαληνών τριγώνων.  Αν α, β, γ διαδοχικοί πρώτοι αριθμοί και ΑΒΓ τρίγωνο με ΑΒ = γ, ΒΓ = α, και ΑΓ = β με α < β < γ τότε προφανώς στο τρίγωνο αυτό ισχύει ο Νόμος των συνημίτονων δηλαδή:

γ² = α² + β² - 2 α β συν Γ

Από τον τύπο των συνημίτονων θα προχωρήσουμε για να φτάσουμε στον τύπο της εικασίας μας που είναι:

lim [( α² + β² - γ² ) / α. β ] = 1

α → ∞

Αν οι πλευρές α, β, γ, του τριγώνου ΑΒΓ είναι πολύ μεγάλοι διαδοχικοί πρώτοι αριθμοί τότε το τρίγωνο μας θα τείνει να γίνει ισόπλευρο, δηλαδή Α ≈ Β ≈ Γ ≈ ⅓ π και συνεπώς οι γωνίες Α, Β, Γ θα πρέπει να τείνουν στο όριο των 60° μοιρών έκαστη. Ξέρουμε όμως ότι 180°  ισούται με π ακτίνια³ και

συν ⅓π = ½. Σε αυτή την περίπτωση θα έχουμε:

γ² ≈ α² + β² - α β

ή α β ≈ α² + β² - γ²

Διαιρώντας τα δύο μέλη της εξίσωσης με το α β έχουμε:

[( α² + β² - γ² ) / α. β ] ≈ 1

Ή με τη χρήση του συμβόλου του ορίου:

lim [( α² + β² - γ² ) / α. β ] = 1

α → ∞

Αναλύοντας την πιο πάνω εξίσωση με πιο πολλά λόγια, για να νιώσουμε την ουσία της, η εικασία μας λέει τα εξής: Αν έχουμε τρεις πολύ μεγάλους διαδοχικούς πρώτους αριθμούς και  υπολογίσουμε το άθροισμα των τετραγώνων των δύο μικρότερων και από το άθροισμα αυτό αφαιρέσουμε το τετράγωνο του μεγαλύτερου και ακολούθως τη διαφορά που θα βρούμε τη διαιρέσουμε με το γινόμενο των δύο μικρότερων πρώτων τότε το πηλίκο θα τείνει προς τη μονάδα όταν οι τρεις διαδοχικοί  πρώτοι τείνουν στο θετικό άπειρο.

Παραδείγματα επαλήθευσης της εικασίας:

  1. Τρίγωνο με πλευρές α = 983, β = 991, γ = 997 (Οι 3 μεγαλύτεροι τριψήφιοι πρώτοι)

[( α² + β² - γ² ) / α. β ] = [( 983² + 991² - 997² ) / (983. 991) ] = 0,979682863..

  1. Τρίγωνο με πλευρές α = 9949, β = 9967, γ = 9973 (Οι 3 μεγαλύτεροι τετραψήφιοι πρώτοι)

[( α² + β² - γ² ) / α. β ] = [( 9949² + 9967² - 9973² ) / (9949. 9967) ] = 0,996987525..

  1. Τρίγωνο με πλευρές α = 99971, β = 99989, γ = 99991 (Οι 3 μεγαλύτεροι πενταψήφιοι πρώτοι)

[( α² + β² - γ² ) / α. β ] = [( 99971² + 99989² - 99991² ) / (99971. 99989) ] = 0,999779958..

Βλέπουμε ότι όσο μεγαλύτεροι οι αριθμοί τόσο το πηλίκο της παράστασης τείνει στη μονάδα.

Φυσικά τα πιο πάνω δεν αποτελούν απόδειξη αλλά μια εύλογη μαθηματική εικασία. Ο καθένας από εμάς μπορεί να προσπαθήσει να παρουσιάσει μια απόδειξη. Ή μήπως όχι; Αν υπάρχει κάποια απόδειξη θα σας ήμουν ευγνώμον αν μου την κοινοποιούσατε.[σημ. 4]

Σημειώσεις
  1. Προφανώς θεωρούσε το 1 ως πρώτο. Επίσης θεωρούσε ότι επιτρεπόταν η επανάληψη αριθμού στο άθροισμα. Σε τέτοια περίπτωση έχουμε:

6 = 1 + 2 + 3,

7 = 2 + 2 + 3


8 = 1 + 2 + 5

9        = 1 + 3 + 5 κοκ

  1. Η πρώτη, «ισχυρή» εικασία, την οποία διατύπωσε ο Κρίστιαν Γκόλντμπαχ (1690-1764) το 18ο αιώνα, («κάθε άρτιος αριθμός μεγαλύτερος του 2 μπορεί να γραφεί ως άθροισμα δύο πρώτων αριθμών») Η δεύτερη «η αδύναμη» εικασία, λέει ότι, κάθε περιττός αριθμός μεγαλύτερος του 6 είναι το άθροισμα τριών πρώτων αριθμών.
  1. Ο λόγος περιφέρειας προς ακτίνα κύκλου είναι ίσος με 2 φορές το π [ π=3,1415926..] Μια πλήρης γωνία 360° ισούται με 2 π ακτίνια. Προφανώς λοιπόν ένα τόξο 60 μοιρών ισούται με ⅓π ακτίνια.
  1. Τα πλήρη στοιχεία μου είναι: Μιχάλης Α. Πόλης, Ζήνωνος Κιτιέως 34, 7060 Λιβάδια Λάρνακα.

Email: Αυτή η διεύθυνση ηλεκτρονικού ταχυδρομείου προστατεύεται από κακόβουλη χρήση. Χρειάζεται να ενεργοποιήσετε την Javascript για να τη δείτε.

Πνευματικά δικαιώματα

Επιτρέπεται η αναδημοσίευση μέρους ή όλου του άρθρου με αναφορά στο όνομα του συγγραφέα.

 

Εκπαιδευτικό Υλικό

 

facebook Twitter YouTube
Τελευταία Ενημέρωση:
Πέμπτη,
09/05/2019 11:38