Α.Κί.ΔΑ

 

 

 

 

Ποιοι είναι Online

Έχουμε 354 επισκέπτες συνδεδεμένους

 

 

Η γνώμη σας μετρά

Για ποια θα θέλατε να ενημερώνεστε περισσότερο σε αυτή τη σελίδα;






Αποτελέσματα

ΑΚΙΔΑ Facebook

Πυθαγόρειο Θεώρημα: Το πολύτιμο κόσμημα στο Μαθηματικό Θησαυροφυλάκιο

Μιχάλης Α. Πόλης Εκπαιδευτικός

Εισαγωγή

Το Πυθαγόρειο Θεώρημα αποτελεί  την πιο γνωστή από τις μαθηματικές γνώσεις που μας κληροδότησε ο  Σάμιος μύστης, το όνομα του οποίου επάξια φέρει.. Το περιεχόμενο του, γνωστό ήδη σε κάθε μαθητή γυμνασίου, οριοθετεί την αριθμητική σχέση που συνδέει το μήκος των πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου. Η μεγαλύτερη πλευρά ενός  πυθαγόρειου τριγώνου λέγεται υποτείνουσα και βρίσκεται απέναντι από την ορθή του γωνία [Ίση με 90º ή  π/2 ακτίνια ]. Οι άλλες δύο πλευρές του ορθογωνίου τριγώνου που είναι και μικρότερες  ονομάζονται κάθετες. Το  θεώρημα οριοθετεί τις σχέσεις των τριών πλευρών ενός ορθογωνίου τριγώνου ως εξής:

Ἐν τοῖς ὀρθογωνίοις τριγώνοις τὸ ἀπὸ τῆς τὴν ὀρθὴν γωνίαν ὑποτεινούσης πλευρᾶς τετράγωνον ἴσον ἐστὶ τοῖς ἀπὸ τῶν τὴν ὀρθὴν γωνίαν περιεχουσῶν πλευρῶν τετραγώνοις.

Ευκλείδης Στοιχεία, Βιβλίο Πρώτο  πρόταση 47

Σε σύγχρονη διατύπωση:

Το τετράγωνο  της υποτείνουσας ορθογωνίου τριγώνου  ισούται με το άθροισμα των μηκών των τετραγώνων των δύο καθέτων πλευρών του.

Το Πυθαγόρειο Θεώρημα από την αρχαιότητα ως σήμερα

Αν και οι αρχαίοι Αιγύπτιοι, Μεσοποτάμιοι, Κινέζοι και άλλοι ανατολικοί λαοί γνώριζαν πρακτικά το θεώρημα, ωστόσο δεν διανοήθηκαν πότε να το αποδείξουν γιατί δεν γνώριζαν την έννοια και τη μέθοδο της μαθηματικής απόδειξης που  είναι η ουσία της μαθηματικής  επιστήμης. Η εμπειρική γνώση ότι ένα τρίγωνο με πλευρές 3, 4, 5 είναι ορθογώνιο, την οποία κατείχαν οι Αιγύπτιοι όταν έκτιζαν τις πυραμίδες, δεν αποτελεί τίποτε άλλο από τυχαία  παρατήρηση μιας ειδικής περίπτωσης εφαρμογής του θεωρήματος.

Ο Πυθαγόρας προχώρησε πέραν του εμπειρικού και απέδειξε πέραν πάσης αμφιβολίας τη μαθηματική πρόταση. Σύμφωνα με τις αρχαίες πηγές [Απολλώνιος Λογιστικός ]  πρόσφερε θυσία εκατό βοδιών στους θεούς για να τους ευχαριστήσει για τη φώτιση που του πρόσφεραν και η οποία τον οδήγησε στην απόδειξη .  Ο ενθουσιασμός του δεν ήταν αδικαιολόγητος. Το θεώρημα του εξασφάλισε την αθανασία. Ο Jacob Bronowski  στο βιβλίο του The ascent of man αναφέρει ότι «το θεώρημα του Πυθαγόρα παραμένει το σημαντικότερο θεώρημα στα Μαθηματικά». Ο  πασίγνωστος συγγραφέας του βιβλίου Η Αλίκη στη Χώρα των θαυμάτων Lewis Carrol που εκτός από μυθιστορήματα ασχολήθηκε με τα Μαθηματικά έγραψε για το Πυθαγόρειο Θεώρημα ότι «εξακολουθεί να είναι το ίδιο όμορφο όσο ήταν την ημέρα που το ανακάλυψε ο Πυθαγόρας». Το 2004 το περιοδικό Physics Word έκανε διαγωνισμό για την ανάδειξη των σημαντικότερων εξισώσεων της Φυσικής και των Μαθηματικών. Οι αναγνώστες κατάταξαν το Πυθαγόρειο Θεώρημα τέταρτο σημαντικότερο  τύπο όλων των εποχών. Ο Johannes Kepler πατέρας της σύγχρονης αστρονομίας  είπε: «Η Γεωμετρία  διαθέτει δύο μεγάλους θησαυρούς: Ο ένας είναι το θεώρημα του Πυθαγόρα. Ο άλλος το θεώρημα της χρυσής τομής». Η μορφή του Πυθαγορείου θεωρήματος συναντάται στην τριγωνομετρία με την γνωστή εξίσωση που συνδέει τα τετράγωνα του ημιτόνου και συνημίτονου της αυτής γωνίας. [ sin² A + cos² A = 1 ] Στις Υπερβολικές συναρτήσεις στον αντίστοιχο τύπο που συνδέει τα υπερβολικά ημίτονα και συνημίτονα.  [ cosh² A - sinh² A = 1] Στην εξίσωση του κύκλου στην αναλυτική γεωμετρία. Στην εύρεση της απόλυτης τιμής μιγαδικού αριθμού και σε δεκάδες άλλους τύπους των μαθηματικών και της σύγχρονης φυσικής μέχρι και τη θεωρία της Σχετικότητας.

Ο Ε. S. Loomis στο βιβλίο του The pythagorian Composition [1940] καταγράφει 371 αποδείξεις του Πυθαγορείου Θεωρήματος. Η πρώτη απόδειξη   απαντάται στο Α βιβλίο των Στοιχείων του Ευκλείδη, όπου αριθμείται  ως  η πρόταση 47. Ο μεγάλος Μαθηματικός Κλαύδιος Πτολεμαίος καταγράφει απόδειξη της οποίας το Πυθαγόρειο Θεώρημα είναι ειδική περίπτωση.  Σε μεταγενέστερες εποχές σημειώνουμε, μεταξύ άλλων την απόδειξη του καλλιτέχνη,  εφευρέτη  και Πανεπιστήμονα της αναγέννησης Leonardo da Vinci,    του James A Garfild  20ου Προέδρου των Ηνωμένων Πολιτειών, του μεγάλου  αστρονόμου Huygens, των κορυφαίων  μαθηματικών    Leibnitz  και Adrien Marie Legendre και του ίδιου του Ε. S. Loomis ο οποίος παράθεσε στο βιβλίο του και τη δική του προσέγγιση στο θεώρημα. Αναφέρεται ακόμα από το συγγραφέα Eli Maor στο βιβλίο του «Το Πυθαγόρειο Θεώρημα μια ιστορία 4000 ετών» ότι υπάρχει   απόδειξη του Einstein την οποία ο πατέρας της θεωρίας της Σχετικότητας διατύπωσε σε ηλικία 12 ετών. Σήμερα, 76 χρόνια μετά τη  συγγραφή του βιβλίου του Loomis οι γνωστές αποδείξεις του Πυθαγόρειου Θεωρήματος  πρέπει να είναι περισσότερες από πεντακόσιες. ( 500+)

Τις ημέρες της σχόλης, όταν το απαιτητικό  επάγγελμα του διευθυντή δημοτικού σχολείου που εξασκώ τα τελευταία τρία χρόνια δεν απορροφά κάθε ικμάδα της πνευματικής μου διαύγειας, ασχολούμαι με τα μαθηματικά.  Η διατύπωση μιας πρωτότυπης απόδειξης του Θεωρήματος ήταν πάντα μια πρόκληση για μένα. Τις δύο αποδείξεις του Θεωρήματος του Πυθαγόρα που θα παραθέσω σε ξεχωριστό έγγραφο, δεν τις αντέγραψα από κανένα βιβλίο. Αυτό δεν σημαίνει ότι απαραίτητα δεν διατυπώθηκαν από κάποιο άλλο πριν από εμένα. Τις πεντακόσιες  [500+] αποδείξεις που υπάρχουν είναι πρακτικά αδύνατο να τις ξέρει κάποιος όλες. Αν  αναγνωρίσετε κάποια από αυτές ως γνωστή απόδειξη κάποιου μαθηματικού ας μας διαφωτίσει και ας μας πει ποιου είναι. Οι αποδείξεις επισυνάπτονται σε ξεχωριστό έγγραφο για όποιο ενδιαφέρεται να τις μελετήσει.

Υστερόγραφο

Πριν  δύο χρόνια είχα υποβάλει την πρώτη από τις δύο αποδείξεις που θα παραθέσω στη Μαθηματική Εταιρεία με την παράκληση όπως με πληροφορήσουν, αν γνώριζαν βέβαια, αν ανήκει σε κάποιο μαθηματικό. Δεν πήρα απάντηση. Η παράκληση επαναλαμβάνεται.

Αποδείξεις του Πυθαγόρειου Θεωρήματος

Ιη Απόδειξη

Έστω ΑΒΓΔ ορθογώνιο τραπέζιο [ Οι γωνίες Α, Δ είναι ορθές και η γωνία Β αμβλεία ] Έστω ότι η πλευρά ΑΔ του τραπεζίου ισούται με το ένα δεύτερο του αθροίσματος των δύο παραλλήλων πλευρών του τραπεζίου δηλαδή ΑΔ = ½ ( ΑΒ +ΔΓ) και ΑΒ <  ΑΔ < ΔΓ.

Αν ΑΔ = α τότε μπορούμε να πούμε ότι ΑΒ = α-β και ΔΓ = α + β    [α > β].

Έστω σημείο Ε επί της ΑΔ τέτοιο ώστε ΔΕ = ΑΒ =  α –β  και σημείο Ζ επί της ΓΔ τέτοιο ώστε ΓΖ = ΑΔ = α.

Απόδειξη

Προφανώς τα τρίγωνα ΕΑΒ και  ΖΔΕ είναι ίσα αφού είναι ορθογώνια [ Α = Δ=90º ] και ΔΖ = ΑΕ= β και ΔΕ = ΑΒ = α – β. Άρα ΕΖ = ΕΒ = γ.  Το τρίγωνο ΖΕΒ είναι επίσης ορθογώνιο αφού οι γωνίες ΔΕΖ και ΑΕΒ είναι συμπληρωματικές εκ της ισότητας των τριγώνων ΕΑΒ και  ΖΔΕ. Επίσης είναι  ισοσκελές [ΕΖ = ΕΒ = γ].  Το εμβαδόν του τριγώνου ΖΒΕ ισούται με γ²/2.

Το εμβαδόν του τραπεζίου ΑΒΓΔ ισούται με το άθροισμα των εμβαδών των τεσσάρων τριγώνων που το αποτελούν. [ Από τα οποία τα ΑΒΕ και ΑΕΖ είναι ίσα] . Το εμβαδόν του τραπεζίου ισούται με το ημιάθροισμα των παραλλήλων πλευρών του επί το ύψος του. Έχουμε λοιπόν:

½ ( ΑΒ + ΓΔ ) . ΑΔ = 2 [ ½ΕΔ.ΔΖ ] + ½ ΕΖ² + ½ ΖΓ. ΑΔ

⇒  α² = β (α – β ) + ½ γ ² + ½ α²

⇒  2α² = 2β (α – β ) +  γ ² +  α²

⇒  α² = 2β (α – β ) +  γ ²

⇒  γ² = 2β ( β - α )  +  α²

⇒  γ² = β²  +  ( α – β )²

⇒  ΕΒ² = ΑΕ²  +  ΑΒ²    ή  ΕΖ² = ΔΕ²  +  ΔΖ²

Όπερ έδει δείξε.

2η Απόδειξη

Έστω ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ με υποτείνουσα ΑΒ = γ  και κάθετες πλευρές ΒΓ = α και ΑΓ = β και α > β. Από τα σημεία Α και Β φέρω κάθετες επί της υποτείνουσας ΑΒ και σχηματίζω το τετράγωνο ΑΒΖΘ με πλευρά γ που περιέχει το τρίγωνο ΑΒΓ. Προεκτείνω την πλευρά ΑΓ του  τριγώνου ΑΒΓ από το σημείο Γ μέχρι πού τέμνει την πλευρά ΘΑ του τετραγώνου στο σημείο Δ. Από το σημείο Γ φέρω την κάθετη ΓΕ στην πλευρά ΒΖ του τετραγώνου.[ Ε σημείο της ΒΖ ] Από το σημείο Γ φέρω την κάθετη ΓΗ πάνω στην ΖΘ, επίσης πλευρά του τετραγώνου ΑΒΖΘ. [ Η σημείο της ΖΘ ] Από το σημείο Δ φέρω τη ΔΚ κάθετη επί της ΗΓ . [ Κ σημείο της ΗΓ ]

Το τετράγωνο ΑΒΖΘ έχει χωριστεί σε τέσσερα όμοια ορθογώνια τρίγωνα, δηλαδή τα ΓΒΑ, ΓΑΔ, ΕΓΒ και ΚΔΓ και σε δύο ορθογώνια τετράπλευρα τα ΕΖΗΓ και ΗΘΔΚ. Εκ της ομοιότητας των τεσσάρων τριγώνων υπολογίζω τις ακόλουθες πλευρές των τριγώνων  ΓΑΔ, ΕΓΒ και ΚΔΓ και των ορθογωνίων ΕΖΗΓ και ΗΘΔΚ σε συνάρτηση των μεγεθών α, β, γ.:

ΕΒ = α β/γ,   ΕΓ = α²/γ,    ΓΔ = β²/α,    ΔΑ = β γ/α ,   ΚΓ = [β ( γ² -α² )]/α γ,

ΚΒ = [ ( γ² -α² )/α γ]

Επιπλέον υπολογίζω τις πλευρές ΖΕ και ΗΚ των ορθογωνίων ΕΓΗΖ και ΗΚΔΘ για να μπορώ ακολούθως να υπολογίσω τα εμβαδά τους. [ Τις άλλες δύο πλευρές που χρειάζομαι τις υπολόγισα από τα τρίγωνα αφού ΖΗ=ΕΓ και ΗΘ= ΚΔ]

Το τετράγωνο ΑΒΘΖ αποτελείται από τα τέσσερα ορθογώνια τρίγωνα και τα δύο ορθογώνια τρίγωνα. Εξισώνουμε λοιπόν τα εμβαδά τους

Με αναγωγή ομοίων όρων η εξίσωση (1) παίρνει την απλούστερη μορφή:

Πολλαπλασιάζω κατά μέλη την (2) με τον παράγοντα [2 α /β] και έχω:

γ² = α² + β²

Η ζητούμενη σχέση έχει αποδειχθεί.

 

Εκπαιδευτικό Υλικό

 

facebook Twitter YouTube
Τελευταία Ενημέρωση:
Πέμπτη,
09/05/2019 11:38