Α.Κί.ΔΑ

 

 

 

 

Ποιοι είναι Online

Έχουμε 148 επισκέπτες συνδεδεμένους

 

 

Η γνώμη σας μετρά

Για ποια θα θέλατε να ενημερώνεστε περισσότερο σε αυτή τη σελίδα;






Αποτελέσματα

ΑΚΙΔΑ Facebook

Ο Ευκλείδης οριοθετεί το άπειρο σύνολο των πρώτων αριθμών

Μιχάλης Α. Πόλης Εκπαιδευτικός

Οι πρώτοι αριθμοί είναι χαοτικά τοποθετημένοι στο άπειρο σύνολο των Φυσικών Αριθμών. [Σημ. 1] Η κατανομή τους δεν ακολουθεί κάποιο μοτίβο ή ευδιάκριτο κανόνα. Ευθύς εξ αρχής λοιπόν, ήδη από την εποχή της αρχαίας Ελλάδας, ερωτήματα όπως τα ακόλουθα απασχόλησαν τους Μαθηματικούς:

  1. Πόσοι πρώτοι αριθμοί υπάρχουν; Είναι το πλήθος τους  άπειρο ή  πεπερασμένο;
  1. Αν [υποθετικά] το πλήθος των πρώτων είναι πεπερασμένο θα μπορούσαμε να κάνουμε ένα κατάλογο με αυτούς. Ποιος θα ήταν ο  μεγαλύτερος πρώτος στον υποθετικό αυτό κατάλογο;

Τα ερωτήματα αυτά ίσως φαντάζουν παράξενα ή ασυνήθιστα ή στερούμενα ευρύτερου ενδιαφέροντος όμως  μόνο απλοϊκά δεν είναι. Έχουν δοθεί σε αυτά ευφυείς απαντήσεις τις οποίες θα παρουσιάσουμε στο άρθρο αυτό. Πριν όμως από τις  απαντήσεις θα πρέπει να τοποθετήσουμε τις έννοιες στη σωστή τους θέση.

Από το Δημοτικό ξέρουμε ότι πρώτος είναι ο αριθμός που δεν έχει γνήσιους διαιρέτες[σημ.2] αλλά διαιρείται ακριβώς μόνο με τη μονάδα και τον εαυτό του. Αν θέλω να ανιχνεύσω τους πρώτους που είναι μικρότεροι από ένα δοσμένο αριθμό, [ας  ονομάσω αυθαίρετα τον αριθμό αυτό Α], πρέπει να γνωρίζω τη διαδικασία που είναι γνωστή ως «κόσκινο του Ερατοσθένη». Για να περάσω ένα σύνολο φυσικών αριθμών από το κόσκινο, να απομακρύνω τους σύνθετους και να «παγιδέψω» τους πρώτους χρειάζομαι:

  1. Ένα κατάλογο διαδοχικών φυσικών αριθμών Ν για τους οποίους ισχύει ότι 2 ≤ Ν ≤ Α
  1. Ένα δεύτερο κατάλογο με όλους τους πρώτους Π ν για τους οποίους ισχύει ότι Π ν  ≤ √ Α. [σημ. 3]
  1. Μια διαδικασία «κοσκινίσματος» την όποια θα παρουσιάσουμε στο παράδειγμα που ακολουθεί:

Έστω ότι θέλω να εντοπίσω όλους τους πρώτους που είναι μικρότεροι από  το 1000. Ετοιμάζω τον κατάλογο των αριθμών από το 2 ως το 1000. Με ένα κομπιουτεράκι υπολογίζω το ακέραιο μέρος του √1000 που είναι το 31.[σημ.4] Αυτό θα με βοηθήσει να γράψω ένα δεύτερο κατάλογο που περιέχει το σύνολο των πρώτων που είναι μικρότεροι ή ίσοι με το 31, δηλαδή τους αριθμούς {2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31} Κυκλώνω στον πρώτο κατάλογο τους  αριθμούς του δεύτερου καταλόγου και ακολούθως διαγράφω με τη σειρά  τα πολλαπλάσια κάθε ενός από αυτούς . Όσοι αριθμοί δεν διαγραφούν μαζί με τους κυκλωμένους αποτελούν  τον κατάλογο με τους 168 πρώτους [σημ. 5] που είναι μικρότεροι από το 1000.

Η διαδικασία του «κόσκινου του Ερατοσθένη» αν και ακριβής δεν είναι πρακτική για μεγάλους αριθμούς. Υπάρχουν βέβαια και άλλες πλέον πολύπλοκες διαδικασίες εύρεσης πρώτων αλλά αυτές ξεφεύγουν από τη θεματολογία αυτού του άρθρου. Επιπλέον το κόσκινο δεν μπορεί να απαντήσει στο ερώτημα  αν ο αριθμός των πρώτων είναι πεπερασμένος ή άπειρος. Την απάντηση στο ερώτημα αυτό έδωσε ο Ευκλείδης, ο οποίος απέδειξε ότι υπάρχουν άπειροι πρώτοι. Η απόδειξη του είναι ευφυής και απλή και στηρίζεται στην αποδεικτική μέθοδο της εις Άτοπον Απαγωγής [ σημ. 6 ]

Ο Ευκλείδης είχε ήδη αποδείξει το θεμελιώδες Θεώρημα της Αριθμητικής[ Σημ. 7] και ήξερε ότι  κάθε φυσικός αριθμός μπορεί να γραφεί ως γινόμενο πρώτων αριθμών με ένα και μοναδικό τρόπο. Με αυτή τη γνώση ως υπόβαθρο, διατύπωσε την υπόθεση ότι υπάρχει ένας μέγιστος πρώτος αριθμός, πέραν του οποίου δεν υπάρχουν άλλοι μεγαλύτεροι πρώτοι. Αν η υπόθεση μου  είναι ορθή, θα σκέφτηκε, τότε ο αριθμός των πρώτων είναι πεπερασμένος και άρα  μπορώ,   να καταρτίσω ένα πλήρη κατάλογο όλων των πρώτων, από το 2 ως τον μεγαλύτερο. Ας υποθέσουμε πάλι, θα σκέφτηκε ο Ευκλείδης, ότι έχω τον κατάλογο όλων των πρώτων. Πώς μπορώ να είμαι σίγουρος ότι αυτός είναι πλήρης;

Για να διασφαλίσει την πληρότητα του καταλόγου, σκέφτηκε να  υποβάλει τους αριθμούς του στην ακόλουθη δοκιμασία. Πολλαπλασίασε όλους τους πρώτους του καταλόγου και στο γινόμενο τους πρόσθεσε τη μονάδα. Ο Ευκλείδης  εστίασε  τη προσοχή του στο νέο αριθμό που προέκυψε και για χάρη ευκολίας θα τον  ονομάσουμε Α. Αυτός έχει τη μορφή:

Α =  1 + ( 2.3.5.7.11.13… Π ν )             [ Όπου Π ν ο υποθετικός μέγιστος πρώτος ]

Ο  αριθμός Α, όσο μεγάλος και να είναι δεν παύει να υπακούει στο θεμελιώδες Θεώρημα της Αριθμητικής σκέφτηκε ο Ευκλείδης και ένα χαμόγελο έλαμψε στο πρόσωπο του.  Είτε είναι   σύνθετος, είτε πρώτος ο Α υποχρεωτικά πρέπει να γράφεται ως γινόμενο πρώτων με ένα και μοναδικό τρόπο.. Αν ο Α είναι σύνθετος  οι πρώτοι παράγοντες του σίγουρα δεν ανήκουν στον κατάλογο όλων των πρώτων που συντάξαμε. Αυτό γιατί αν διαιρέσουμε τον Α με κάποιον από τους πρώτους του καταλόγου  έχουμε υπόλοιπο 1. Άρα ο «πλήρης» κατάλογος των πρώτων που συντάξαμε είναι ατελής και πρέπει να συμπληρωθεί με τους πρώτους παράγοντες του Α. Όμως ακόμα και αν γίνει αυτό ούτε ο νέος κατάλογος θα περιέχει όλους τους πρώτους γιατί μπορούμε να επαναλάβουμε τη διαδικασία από την αρχή, προσθέτοντας στον κατάλογο τους πρώτους παράγοντες του Α και να διατυπώνοντας νέους αριθμούς της μορφής του Α σε μια αέναη διαδικασία επέκτασης του καταλόγου με επιπλέον πρώτους.

Αν πάλι ο Α είναι πρώτος τότε και πάλι αυτός δεν ανήκει στον αρχικό κατάλογο πρώτων και άρα ο κατάλογος πρέπει να διευρυνθεί με την εισαγωγή του Α  και τη σύνθεση ενός νέου Α που, με τον ίδιο τρόπο, θα γεννήσει νέους πρώτους και αυτοί άλλους. Η διαδικασία μπορεί να επαναληφθεί άπειρες φορές και ως αποτέλεσμα μπορώ να έχω ένα κατάλογο πρώτων όσο μεγάλο θέλω και πάλι, όσο μεγάλος και αν γίνει, ποτέ δεν θα είναι πλήρης. Το σύνολο των πρώτων είναι άπειρο,   αφού η αρχική μας υπόθεση περί πεπερασμένου καταλόγου πρώτων αποδείχθηκε αβάσιμη. [άτοπη]

Ας δούμε με μερικούς απλούς υπολογισμούς την ισχύ του θεωρήματος του Ευκλείδη. [ Σημ. 8,9 ]Ας υποθέσουμε ότι το σύνολο των πρώτων περιλαμβάνει  μόνο τον αριθμό 2.  Σ Π = {2}. Ο κάτοχος του καταλόγου μπορεί να προχωρήσει σε μια διαδικασία ατελεύτητης διεύρυνσης του ως εξής:

Αέναη παραγωγή νέων πρώτων με την ευκλείδεια μέθοδο.

Α1 = [ 1 + 2] = 3 και με βάση το θεμελιώδες θεώρημα της Αριθμητικής το Α1=3 είναι πρώτος αφού δεν έχει γνήσιους διαιρέτες.

Προφανώς λοιπόν πρέπει να διευρύνουμε το Σ Π και νέο Σ Π = {2,3}

Α 2= [ 1 + (2.3)] = 7. Το Α 2=  7 δεν έχει γνήσιους διαιρέτες και άρα είναι πρώτος.

Προφανώς και πάλι πρέπει να διευρύνουμε το σύνολο των πρώτων και νέο Σ Π = {2,3, 7}

Α 3= [ 1 + (2.3.7)] = 43. Το 43 και πάλι είναι πρώτος. Άρα Σ Π = {2,3, 7, 43} κοκ

Η  διαδικασία γέννησης νέων πρώτων είναι ατελεύτητη  και ο αριθμός τους  είναι προφανώς άπειρος.

Σημειώσεις

  1. Το Σύνολο των θετικών ακεραίων { 1, 2, 3,…..} συμβολίζεται με Ν και ονομάζεται σύνολο των Φυσικών Αριθμών. Το πλήθος των στοιχείων του Ν είναι άπειρο. Αυτό σημαίνει ότι για κάθε σύνολο διαδοχικών μη επαναλαμβανόμενων φυσικών αριθμών, οσοδήποτε μεγάλο, μπορούμε να σχηματίσουμε ένα δεύτερο σύνολο με περισσότερα στοιχεία από το πρώτο.
  1. Έστω ακέραιος αριθμός α με α ≠ 0. Λέμε ότι ο α διαιρεί τον ακέραιο αριθμό β όταν υπάρχει τρίτος ακέραιος, έστω γ τέτοιος ώστε β = α γ. Στη Μαθηματική Συμβολική γλώσσα η έκφραση «ο α διαιρεί το β» γράφεται
  2.  α

  1. β . Οι διαιρέτες ενός αριθμού χωρίζονται σε γνήσιους και τετριμμένους. Τετριμμένοι διαιρέτες κάποιου ακεραίου α είναι οι { 1 , α } δηλαδή ο εαυτός του και η μονάδα. Οι πρώτοι αριθμοί  έχουν μόνο τετριμμένους διαιρέτες.  Γνήσιοι είναι όλοι οι υπόλοιποι. Αν δ γνήσιος διαιρέτης του α [ α ≠ 1 ] τότε ισχύει ότι 1 < δ ≤ ½ α.
  1. Θα αποδείξουμε ότι  αριθμός χωρίς  γνήσιους  διαιρέτες μικρότερους  από την τετραγωνική του ρίζα  είναι πρώτος.

Μέθοδος Απόδειξης: Εις άτοπον απαγωγή

Έστω   σύνθετος φυσικός αριθμός Ν  με {α, β …ν} το σύνολο των γνησίων διαιρετών του και

√ Ν <α ≤ β ≤.. ≤ ν  < Ν .

Αφού ο αριθμός α είναι ο μικρότερος  γνήσιος διαιρέτης του Ν τότε ισχύει ότι Ν = α. ν όπου ν ο μέγιστος γνήσιος διαιρέτης του.  Εφόσον ν = Ν/α και αφού α > √ Ν τότε ν <  √ Ν <α  πράγμα άτοπο με βάση την αρχική μας υπόθεση εφόσον ο μικρότερος γνήσιος διαιρέτης ενός αριθμού δεν μπορεί να είναι μεγαλύτερος από τον μεγαλύτερο γνήσιο διαιρέτη.  Αφού η αρχική μας υπόθεση μας οδηγεί σε λάθος συμπέρασμα είναι προφανώς άτοπη και άρα ισχύει η αντίθετη πρόταση. Αν λοιπόν ο  Ν είναι δεν είναι σύνθετος υποχρεωτικά είναι πρώτος.

  1. Για κάθε πραγματικό αριθμό α  υπάρχει ακέραιος αριθμός ζ τέτοιος ώστε ζ  ≤ α ≤ ( ζ +1 ). Το ακέραιο μέρος του α συμβολίζεται με [ α ]
  1. Οι πρώτοι αριθμοί ως το 1000 είναι:

2      3      5      7     11     13     17     19     23     29

31     37     41     43     47     53     59     61     67     71

73     79     83     89     97    101    103    107    109    113

127    131    137    139    149    151    157    163    167    173

179    181    191    193    197    199    211    223    227    229

233    239    241    251    257    263    269    271    277    281

283    293    307    311    313    317    331    337    347    349

353    359    367    373    379    383    389    397    401    409

419    421    431    433    439    443    449    457    461    463

467    479    487    491    499    503    509    521    523    541

547    557    563    569    571    577    587    593    599    601

607    613    617    619    631    641    643    647    653    659

661    673    677    683    691    701    709    719    727    733

739    743    751    757    761    769    773    787    797    809

811    821    823    827    829    839    853    857    859    863

877    881    883    887    907    911    919    929    937    941

947    953    967    971    977    983    991    997

  1. Μέθοδος απόδειξης με την Απαγωγή εις Άτοπον .

Στηρίζεται στην λογική αρχή του αποκλεισμού της τρίτης υπόθεσης που λέει ότι μεταξύ δύο αντιφατικών προτάσεων υποχρεωτικά μόνο η μία είναι ορθή. Αν έχουμε δύο τέτοιες προτάσεις και αποδείξουμε το λάθος της μίας τότε είναι βέβαιο ότι η δεύτερη είναι ορθή. Χρησιμοποιούμε αυτή τη μέθοδο απόδειξης σε  περιπτώσεις που ενώ είναι πολύ δύσκολο να αποδείξουμε την ορθότητα κάποιας πρότασης, είναι ευκολότερο να αποδείξουμε ότι η αντίθετη πρόταση είναι λανθασμένη. Έστω ότι θέλουμε να αποδείξουμε ότι Α αληθής. Υποθέτουμε ότι η «Μη Α» είναι αληθής και προχωρούμε με συνεπαγωγές μέχρι να προκύψει ένα εμφανώς άτοπο αποτέλεσμα. Αν το άτοπο αποτέλεσμα προκύψει τότε είναι φανερό ότι η  «Μη Α» είναι ψευδής και άρα Α υποχρεωτικά αληθής.

  1. Η απόδειξη του Θεμελιώδους Θεωρήματος της Αριθμητικής στηρίζεται καταρχήν στην 32η πρόταση του 7ου βιβλίου των Στοιχείων του Ευκλείδη στην οποία αποδεικνύεται ότι κάθε φυσικός αριθμός μπορεί να γραφεί ως γινόμενο πρώτων ή είναι  πρώτος. Η πρόταση αυτή αποτελεί το θεμέλιο πάνω στο οποίο κτίζεται η 14η πρόταση του 9ου βιβλίου των Στοιχείων Στην πρόταση αυτή αποδεικνύεται  ότι «αν ελάχιστος αριθμός μετρείται από πρώτους αριθμούς, τότε δεν θα μετρείται από κανένα άλλο από τους πρώτους αριθμούς εκτός από τους αρχικούς». Στην γλώσσα των Στοιχείων μετρείται σημαίνει διαιρείται χωρίς υπόλοιπο. Έτσι η τελευταία πρόταση οριοθετεί ότι υπάρχει μία και μοναδική ανάλυση σε γινόμενο πρώτων παραγόντων για κάθε φυσικό αριθμό.
  1. Η απόδειξη του Θεωρήματος για το άπειρο πλήθος των πρώτων αποτελεί την 20η πρόταση του 9ου βιβλίου των Στοιχείων του Ευκλείδη στην οποία αποδεικνύεται ότι « Οι πρώτοι αριθμοί είναι περισσότεροι από κάθε πλήθος πρώτων αριθμών».
  1. Τα Στοιχεία  αποτελούσαν τη «Βίβλο» των Μαθηματικών για 2000 χρόνια και είναι το έργο που  κατέστησε τον Ευκλείδη αθάνατο. Αν και είναι σωστό ότι μέρος της γνώσης που περιέχεται στα στοιχεία είναι έργο προγενεστέρων Μαθηματικών, όπως του Θαλή του Μιλήσιου, των Πυθαγορείων και των Πλατωνικών, ο Ευκλείδης οργάνωσε συστηματοποίησε και συμπλήρωσε την προγενέστερη γνώση σε ένα πλήρες σύστημα. Τα Στοιχεία αποτελούνται από 13 βιβλία και περιέχουν πέραν των 400 αποδεδειγμένων θεωρημάτων και ορισμών. Η Ευκλείδειος Γεωμετρία δομείται με αξιώματα που θεωρούνται αυταπόδεικτες θεμελιώδεις αλήθειες, θεωρήματα που αποδεικνύονται,  ορισμούς και επιμέρους πορίσματα. Οι μέθοδοι αποδείξεως που χρησιμοποιούνται είναι η Συνθετική, η Αναλυτική, η Τελεία Επαγωγή και η εις Άτοπον Απαγωγή. Μόλις το 19ο αιώνα οι Ευρωπαίοι Μαθηματικοί Riemann και Lobatchefski δημιούργησαν  μη Ευκλείδειες εναλλακτικές Γεωμετρίες αλλάζοντας το πιο κάτω Ευκλείδειο αξίωμα

Από σημείο εκτός ευθείας άγεται μόνο μία παράλληλος προς αυτήν

 

Εκπαιδευτικό Υλικό

 

facebook Twitter YouTube
Τελευταία Ενημέρωση:
Παρασκευή,
12/07/2019 10:28