Α.Κί.ΔΑ

 

 

 

 

Ποιοι είναι Online

Έχουμε 247 επισκέπτες συνδεδεμένους

 

 

Η γνώμη σας μετρά

Για ποια θα θέλατε να ενημερώνεστε περισσότερο σε αυτή τη σελίδα;






Αποτελέσματα

ΑΚΙΔΑ Facebook

Ο Del Ferro επιλύει την ελλειπή τριτοβάθμια εξίσωση

Ελλειπής τριτοβάθμια εξίσωση

 

Εισαγωγή

 

Ενώ η λύση της δευτεροβάθμιας εξίσωσης χ² + α χ + β = 0 ήταν ήδη γνωστή από την αρχαιότητα, η λύση της τριτοβάθμιας  εθεωρείτο πρόβλημα ανυπέρβλητης δυσκολίας μέχρι το τέλος του μεσαίωνα. Ο πρώτος που κατόρθωσε ένα ουσιαστικό βήμα προόδου για επίλυση της, ήταν ο μαθηματικός Scipione Del Ferro¹ (1465-1526)  που έλυσε την εξίσωση της μορφής

 

χ³ + pχ =q        με p , q θετικούς πραγματικούς αριθμούς

 

Στο άρθρο αυτό θα δούμε τη λύση που έδωσε ο Del Ferro στην τριτοβάθμια και θα παραθέσουμε σχετικά παραδείγματα.

 

Η υπόθεση του  Del Ferro 

 

Ο Del Ferro συνέλαβε ένα ευφυή μετασχηματισμό της τριτοβάθμιας, που θα την μετέβαλε σε δευτεροβάθμια  Η υπόθεση του Del Ferro συνίστατο στο να θέσει τον άγνωστο χ ως άθροισμα δύο επιμέρους αγνώστων, ως ακολούθως:  

 

Θέτουμε όπου χ στην εξίσωση  χ³ + pχ =q  το άθροισμα   u + v

 

→ (u+v) ³ +p(u+v)= q

 

u³ + v³ + 3 u v (u+v) + p(u+v)= q

 

u³ + v³ + (3 u v + p )(u+v) = q

 

Ακολούθως υποθέτουμε ότι υπάρχουν τιμές των u  v  για τις οποίες ισχύει ότι:

 

3 u v + p = 0          (1)

 

και άρα για τις ίδιες τιμές

 

 u³ + v³ = q        (2)

 

Λύουμε την (1) ως προς v και αντικαθιστούμε στην (2)

 

3 u v + p = 0 → v = - (p/3u)

 

→ -(p/3u) ³ + u³ = q

 

→ -/ 27u ³ + u³ = q

 

→ -p ³ + 27  (u ^ 6 )= 27q u³         

 

→ 27  (u ^ 6 ) - 27q u³ -p ³  = 0    (3)

 

Παρατηρούμε ότι η εξίσωση μας είναι δευτεροβάθμια ως προς u³

 

Θέτουμε λοιπόν  u³ = ψ στην (3) και αυτή μετασχηματίζεται σε δευτεροβάθμια

 

 27 ψ² - 27 q ψ - p ³ = 0

 

→ ψ = [ 27 q ±√ ( 27² q ² + 108. p ³)] /54

 

→ ψ = [  q ±√ (  q ² + 4 p ³/27)] /2

 

Δηλαδή:

 

→ ψ = q/2 + √ (  q ²/4 +  p ³/27)

 

ή

 

ψ = q/2 - √ (  q ²/4 +  p ³/27)

 

Εφόσον έχουμε υπολογίσει το ψ είναι φανερό ότι το u υπολογίζεται εύκολα εφόσον αποτελεί την κυβική του ρίζα, και άρα

 

u = ³√ [q/2 + √ (  q ²/4 +  p ³/27)]                      (4)

 

ή

 

u = ³√ [q/2 - √ ( q ²/4 +  p ³/27)]                           (5)

 

Όμως

 

v³ = q – ψ

 

v³ = q/2 - √ (  q ²/4 +  p ³/27)      ή   v³ = q/2 + √ (  q ²/4 +  p ³/27)

 

v = ³√ [q/2 - √ (  q ²/4 +  p ³/27)]       (6)

 

ή   v = ³√ [q/2 + √ ( q ²/4 +  p ³/27)]       (7)

 

Από τις εξισώσεις (4) και (6) είναι φανερό ότι:

 

Χ 1 = ³√[q/2 +√ (  q ²/4 +  p ³/27)] +³√ [q/2 -√ (  q ²/4 +  p ³/27)]     (8)

 

Από τις εξισώσεις (5) και (7) είναι φανερό ότι

 

Χ 2 = ³√[q/2 - √ (  q ²/4 +  p ³/27)] +³√ [q/2 +√ (  q ²/4 +  p ³/27)]     (9)

 

Οι εξισώσεις 8 και 9 ταυτίζονται και άρα η μόνη πραγματική ρίζα² της εξίσωσης μας ισούται με

 

 

Χ  = ³√[q/2 +√ (  q ²/4 +  p ³/27)] +³√ [q/2 -√ (  q ²/4 +  p ³/27)]

 

Κατωτέρω παραθέτουμε δύο σχετικά παραδείγματα για εξοικείωση με τη μέθοδο.

 

Παράδειγμα 1

 

Να βρεθεί  η  πραγματική ρίζα της εξίσωσης

 

χ³ + 5 χ = 8

 

Από την εξίσωση προκύπτει ότι  p=5 , q = 8

 

Αντικαθιστούμε τα p=5 , q = 8 στην (6) για να υπολογίσουμε την πραγματική ρίζα.

 

Χ  = ³√[4 + ⅓√ ( 557/3)] +³√ [4 - ⅓√ ( 557/3)]

 

Με ακρίβεια 9 δεκαδικών ψηφίων έχουμε:

 

Χ ≈ 1,228860244

 

Παράδειγμα 2

 

Έστω η εξίσωση χ³ + 3χ = 16                           (p= 3, q = 16 )

 

→ χ = ³√ [8 + √ (64 + 1)] +³√ [8 - √(64 - 1)]

 

→ χ = ³√ [8 + √ (65)] +³√ [8 - √(65)]

 

Η ρίζα με ακρίβεια 9 δεκαδικών είναι

 

Χ ≈ 2,523106197 – 0,396336865

 

→ Χ ≈2,126769332

 

Σημειώσεις

 

1. Ο μαθηματικός Scipione Del Ferro¹ (1465-1526) ήταν καθηγητής στο Πανεπιστήμιο της Μπολόνια. Η λύση της τριτοβάθμιας που ανακάλυψε έμεινε μυστική μέχρι λίγο πριν το θάνατο του, όποτε την αποκάλυψε στον γαμπρό του Αννιμπάλ ντε λα Ναβέ.

 

2. Πώς ξέρουμε ότι η εξίσωση του Scipione Del Ferro έχει μόνο μια πραγματική ρίζα και συνακόλουθα δύο μιγαδικές; Η απάντηση είναι απλή.

 

Έστω Φ ( χ ) = χ³ + pχ -  q  η συνάρτηση της εξίσωσης μας. Ας υπολογίσουμε την πρώτη της παράγωγο για να δούμε τις τιμές που αυτή παίρνει.

 

 Φ΄ ( χ ) = 3 χ² + p

 

→ Φ΄ ( χ ) > 0   

 

Εφόσον η παράγωγος μας είναι πάντοτε θετική, αυτό σημαίνει ότι η συνάρτηση μας είναι συνεχώς αύξουσα και χωρίς σημεία καμπής, με τιμές από το - ∞ ως το +∞. Νομοτελειακά λοιπόν, η συνάρτηση τέμνει τον άξονα του χ μόνο μια φορά.

 

Εκπαιδευτικό Υλικό

 

facebook Twitter YouTube
Τελευταία Ενημέρωση:
Παρασκευή,
02/08/2019 16:10