Α.Κί.ΔΑ

 

 

 

 

Ποιοι είναι Online

Έχουμε 206 επισκέπτες συνδεδεμένους

 

 

Η γνώμη σας μετρά

Για ποια θα θέλατε να ενημερώνεστε περισσότερο σε αυτή τη σελίδα;






Αποτελέσματα

ΑΚΙΔΑ Facebook

Λύση τριτοβάθμιας εξίσωσης με τριγωνομετρικό μετασχηματισμό κατά Viete

Ο Franscois Viete και η τριγωνομετρική επίλυση της  τριτοβάθμιας εξίσωσης

 

Για τη λύση της ελλιπούς τριτοβάθμιας, ο Franscois Viete¹ χρησιμοποίησε όχι μόνο αλγεβρικό, αλλά και τριγωνομετρικό μετασχηματισμό της εξίσωσης του Del Ferro. Ας δούμε λοιπόν την λύση που έδωσε

 

Έστω λοιπόν η εξίσωση χ³ =pχ+q   με p, q πραγματικούς αριθμούς και p>0

 

1ος Μετασχηματισμός

 

Έστω p= 3 α² και q= α² β και άρα η εξίσωση μας παίρνει τη μορφή

 

χ³ =3 α² χ+  α² β        (1)

 

2ος Μετασχηματισμός

 

Θέτουμε  cos θ = χ/2 α και αντικαθιστούμε τον τελευταίο μετασχηματισμό στην  

 

τριγωνομετρική ταυτότητα² 

 

cos³ θ = ¾ cos θ + ¼ cos 3θ

 

έχουμε:

 

(χ³/8 α³) = (3 χ / 8 α ) + ¼  cos

 

→ χ³ = 3 α² χ + 2 α³ cos              (2)

 

Συνδυάζοντας τις  εξισώσεις (1) και (2) που προκύπτουν από τους αντίστοιχους μετασχηματισμούς έχουμε:

 

α² β = 2 α³ cos

 

cos 3θ = β/2 α

 

→3θ = arc cos (β/2 α)

 

→ θ = ⅓ [arc cos (β/2 α)]

 

χ = 2 α cos θ

 

→ χ = 2 √ (p/3) cos { [arc cos ( 3 √3 q /2 pp )] }

 

Παραδείγματα επίλυσης  τριτοβάθμιας κατά Viete:

 

1ον Παράδειγμα

 

 Έστω η εξίσωση χ³ = 20 χ + 25

 

p = 20 → α² = 20/3

 

→ α= 2 √ (5/3)

 

q = α² β β = q / α² = 25/ (20/3)

 

β = 15/4

 

cos 3θ = β/2 α = (15 √3 ) / (16√ 5 )

 

cos 3θ = 0,726184377

 

3θ = 360 κ ± 43°, 43253656    και κ = 0,1,2

 

Για κ = 0, θ = 14°, 47751219  και θ = - 14°, 47751219 

 

Για κ = 1, θ = 134°, 47751219  και θ = 105°, 5224878

 

Για κ = 2, θ = 254°, 47751219  και θ = 225°, 5224878

 

Εφαρμόζουμε τις λύσεις της τριγωνομετρικής εξίσωσης  στον τύπο Χ = 2 α cos θ, που προκύπτει αν λύσουμε τον δεύτερο μετασχηματισμό ως προς Χ.

 

Χ1 = 2 α cos θ = 4 √ (5/3) . cos  14°, 47751219 

 

Χ1 = 5

 

Όμοια Χ1 = 5 για θ = - 14°, 47751219 

 

Χ2 = 2 α cos θ = 4 √ (5/3) . cos 134°, 47751219

 

Χ2 = - 3,618033983...

 

Όμοια Χ2 = - 3,618033983...για θ = 225°, 5224878..

 

Χ3 = 2 α cos θ = 4 √ (5/3) . cos 254°, 47751219

 

Χ3 = -1,381966019

 

Όμοια Χ3 = -1,381966019...για θ = 105°, 5224878..

 

2ον Παράδειγμα

 

Έστω η εξίσωση χ³ = 19 χ - 30

 

p = 19 → α² = 19/3

 

→ α=  √ (19/3)

 

q = α² β → β = q / α² = - 30/ (19/3)

 

→ β = - 90/ 19

 

cos 3θ = β/2 α = (- 90 √3 ) / (38√ 19 )

 

cos 3θ = -0,941115095...

 

3θ = 360 κ ± 160°,239673339..     και κ = 0,1,2

 

Για κ = 0, θ =53°, 41322445,... και θ = - 53°, 41322445,...

 

Για κ = 1, θ = 173°,4132244...  και θ = 66°, 58677555...

 

Για κ = 2, θ = 293,413224433...  και θ = 186°, 586775567...

 

Εφαρμόζουμε τις λύσεις της τριγωνομετρικής εξίσωσης  στον τύπο Χ = 2 α cos θ, που προκύπτει αν λύσουμε τον δεύτερο μετασχηματισμό ως προς Χ.

 

Χ1 = 2 α cos θ = 2√ (19/3) . cos   53°, 41322445,...  

 

Χ1 = 3

 

Όμοια Χ1 = 3 για θ = -  53°, 41322445,...   

 

Χ2 = 2 α cos θ = 2 √ (19/3) . cos 173°, 41322445..  

 

Χ2 = - 5

 

Όμοια Χ2 = - 5 για θ = 186°, 586775567...

 

Χ3 = 2 α cos θ = 2 √ (19/3) . cos 293,413224433

 

Χ3 = 2

 

Όμοια Χ3 = 2 για θ = 66°, 58677555.....

 

Σημειώσεις

 

1. Ο Franscois Viete (1540-1603) ήταν Γάλλος Μαθηματικός με αξιοσημείωτο έργο στην άλγεβρα. Ήταν δικηγόρος, σύμβουλος των βασιλέων της Γαλλίας Ερρίκου 3ου και 4ου . Το μαθηματικό του έργο το ανέπτυσσε κατά τον ελεύθερο του χρόνο, ως πάρεργο. (hobby)

 

2. Ο τύπος  cos³ θ = ¾ cos θ + ¼ cos 3θ μπορεί να προέλθει ως ειδική περίπτωση του τύπου

 

cos ( φ + θ ) = cos φ cos θ -   sin φ sin θ.

 

Θέτοντας φ = 2 θ έχουμε

 

cos 3 θ = cos 2 θ cos θ  -   sin 2 θ  sin θ              (1)

 

Όμως cos 2 θ = cos² θ - sin² θ  και sin² θ = 1 - cos² θ

 

cos 2 θ = 2 cos² θ – 1   (2)

 

Επίσης sin 2 θ  = 2 sin θ cos  θ  (3)

 

Συνδυάζοντας τις προτάσεις (1), (2) και (3) έχουμε:

 

 

cos 3 θ = (2 cos² θ – 1 ) cos θ  -  2 sin² θ cos  θ   

 

  cos 3 θ = 2 cos³ θ – cos θ  -  2 (1 - cos ² θ ) cos  θ 

 

→ cos 3 θ = 4 cos³ θ  3 cos θ 

 

   cos³ θ = ¾ cos θ + ¼ cos 3θ

 

Μ. Πόλης.

 

Πνευματικά Δικαιώματα: Επιτρέπεται η αναδημοσίευση μέρους ή του συνόλου της πιο πάνω εργασίας με αναφορά στο όνομα του συγγραφέα και της ιστοσελίδας που τον φιλοξενεί.

 

 

 

Εκπαιδευτικό Υλικό

 

facebook Twitter YouTube
Τελευταία Ενημέρωση:
Παρασκευή,
02/08/2019 16:10