Α.Κί.ΔΑ

 

 

 

 

Ποιοι είναι Online

Έχουμε 321 επισκέπτες συνδεδεμένους

 

 

Η γνώμη σας μετρά

Για ποια θα θέλατε να ενημερώνεστε περισσότερο σε αυτή τη σελίδα;






Αποτελέσματα

ΑΚΙΔΑ Facebook

Η σειρά των αντίστροφων τετραγώνων των Φυσικών αριθμών

Ο υπολογισμός του αθροίσματος των απείρων όρων των αντίστροφων τετραγώνων

 

Σε προηγούμενο μας άρθρο είχαμε δείξει ότι η αρμονική σειρά αποκλίνει, δηλαδή ότι το άθροισμα των άπειρων όρων της είναι μεγαλύτερο από οποιοδήποτε θετικό αριθμό μπορούμε να σκεφτούμε. Το συμπέρασμα αυτό διατυπώνεται στην πρόταση που ακολουθεί:

 

         

S 1 = ∑   1/ r = 1 + ½  + ⅓ + ¼ + …….1/ r   + 1/ ( r + 1)+ ………… → ∞

          r =1

 

Η αρμονική σειρά αποτελεί το άθροισμα των αντίστροφων των φυσικών αριθμών. Τι μπορούμε να πούμε όμως για το άθροισμα των αντίστροφων των τετραγώνων των φυσικών αριθμών; Συγκλίνει ή αποκλίνει; Αν η απάντηση στο πρώτο ερώτημα είναι η σύγκλιση ποιο είναι το  ζητούμενο άθροισμα;

Η απάντηση στο ερώτημα αν η  S 2  συγκλίνει  είναι θετική. Η απόδειξη της σύγκλισης είναι σχετικά εύκολη¹, όμως εκεί που τα πράγματα δυσκολεύουν είναι στον υπολογισμό του απείρου αθροίσματος. Το πρόβλημα απασχόλησε ανεπιτυχώς τους σημαντικότερους μαθηματικούς των αρχών του 18ου αιώνα, η τιμή όμως της επίλυσης του ανήκει στο μεγάλο Ελβετό Μαθηματικό Euler. Κατωτέρω θα παρουσιάσουμε τη λύση του προβλήματος.

 

Ο υπολογισμός του αθροίσματος των αντίστροφων τετραγώνων

 

Το προς υπολογισμό άθροισμα είναι το ακόλουθο:

 

 S 2  = 1 + ( ½ ) ²  + ( ⅓ ) ²+ ( ¼ ) ² + …….1/ r ²  + 1/ ( r + 1)²+ …………

 

Το οποίο μπορούμε να γράψουμε υπό μορφή σειράς ως εξής:

 

 

 ∑ 1/ν²

 ν=1

 

Για τον υπολογισμό του αθροίσματος S 2  ο Euler χρησιμοποίησε την ανάπτυξη του sin x σε άπειρη σειρά δυνάμεων του x. Ας την παρουσιάσουμε κατωτέρω για να κτίσουμε σιγά - σιγά την απόδειξη μας. Ξέρουμε ότι:

 

- 1 ≤ sin x ≤ 1    για κάθε x μεταξύ του - ∞ και του + ∞

 

Θεωρούμε ότι

 

f (x ) = sin x = α + β x + γ x² + δ x³ + ε x ^4 + ζ x ^5.....  

 

όπου η έκφραση x ^ ν σημαίνει ύψωση του x στη νιοστή δύναμη.

 

Ακολούθως προσπαθούμε να υπολογίσουμε τους συντελεστές α , β, γ, δ, ε ....

 

για x = 0 είναι φανερό ότι α = 0 αφού το ημίτονο μηδενίζεται για τη συγκεκριμένη τιμή.

 

Ακολούθως βρίσκουμε την πρώτη παράγωγο της συνάρτησης μας την οποία συμβολίζουμε με f 1 (x )

 

Έχουμε:

 

f 1 (x ) = cos x = β + 2 γ x + 3 δ x ² + 4 ε x ³ + .....

 

για x = 0 είναι φανερό ότι f 1 (0 ) = cos 0 = β και άρα β = 1

 

Υπολογίζουμε τη δεύτερο παράγωγο της σειράς και συνεχίζουμε με τον ίδιο τρόπο:

 

f 2 (x ) = - sin  x =  2 γ  + 6 δ x  + 12 ε x ² +  20 ζ x ³.....

 

για x = 0 είναι φανερό ότι f 2 (0 ) =  0  και άρα γ = 0

 

Υπολογίζουμε την τρίτη παράγωγο της σειράς και συνεχίζουμε με τον ίδιο τρόπο:

 

f 3 (x ) = - cos   x =   6 δ   + 24 ε x  +  60 ζ x ² + 120 η x ³ + .....

 

για x = 0 είναι φανερό ότι f 3 (0 ) =  - 1  και άρα δ = -  1 / 6 ή δ = - 1 / 3!

 

 

Συνεχίζοντας στο ίδιο μοτίβο:

 

f 4 (x ) =  sin  x =    4 ! ε   +  5 ! ζ x  + 360 η x ²  + ( 7! / 3! ) θ x ³.....

 

για x = 0 είναι φανερό ότι f 4 (0 ) =  0  και άρα ε = 0 ή δ = 0

 

Όμοια:

 

f 5 (x ) =  cos  x =    5 ! ζ   + 6 ! η x   + ( 7! / 2! ) θ x ² + ( 8! / 3! ) θ x ³.....

 

για x = 0 είναι φανερό ότι f 5 (0 ) =   1  και άρα ζ = 1/ 5 ! .

 

Είναι φανερό ότι το ανάπτυγμα του sin  x είναι:

 

f (x ) = sin  x =  x -  x³/3!  + (x ^5) / 5 !  -  (x ^ 7) / 7!  + (x ^9) / 9!   .....

 

Σε τι όμως θα μας χρησιμεύσει η άπειρη σειρά του sin x για να υπολογίσουμε το  άθροισμα των αντίστροφων τετραγώνων; Στο ερώτημα αυτό η απάντηση είναι:

 

1. Η συνάρτηση f (x ) = sin  x =    x -  x³/3!  +  x ^5/ 5 !  -  x ^ 7/ 7 !  + x ^9/ 9 !   ..... είναι ένα πολυώνυμο απείρου βαθμού και με βάση το θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας έχει τόσες λύσεις όσες και ο βαθμός του.

 

2. Οι άπειρες σε αριθμό λύσεις της f (x ) = sin  x είναι οι ακόλουθες:

 

Αν f (x ) = 0 τότε sin  x = 0 και προφανώς x = ν π με ν = 1, 2, 3, 4.....

 

Ο Euler τροποποίησε την άπειρη σειρά του sin  x θέτοντας όπου x το √ x. Έτσι προέκυψε η σειρά:

 

sin√ x = √x -  x√x /3!  + x²x / 5 !  -  x³x / 7 !  + x x ^4 / 9 !   .....

 

Ακολούθως δημιούργησε μια νέα συνάρτηση την οποία θα ονομάσουμε g (x ) διαιρώντας όλους τους όρους της συνάρτησης sinx , με το √x για να απαλλαγεί από τις ρίζες του αναπτύγματος:

 

g (x ) =[ (sin √ x ) / √ x ] =  1 - x/3!  + x ²/ 5 !  -  x ³/ 7 !  + x ^4/ 9 !   .....

 

Αν θέσουμε g  (x ) = 0 → sinx = 0 → √ x = ν π

 

 x = ν² π ²  με ν = 1, 2, 3,....

 

Ακολούθως θέτουμε:

 

g (x ) =[ (sin √ x ) / √ x ] =  1 + Α1 x + Α2 x² ....+ Αν-1 x ^ (ν-1 ) + Αν x ^ (ν )

 

Είναι φανερό ότι :

 

g (x ) = [1 – x1 ] [1 – x2 ] [1 – x3 ]... = 1 - x/3!  +  x ²/ 5 !  -  x ³/ 7 !  + x ^4/ 9 !   .....

 

Ή αντικαθιστώντας τις ρίζες με τις αξίες τους:

 

g (x ) = 1 - x/3!  +  x ²/ 5 !  -  x ³/ 7 !  + x ^4/ 9 !  .... = [1 – x² ] [1 – x / 2² π² ] [1 – x /3² π² ]...

 

Όμως ξέρουμε ότι σε ένα πολυώνυμο της μορφής:

 

1 + Α1 x + Α2 x² ....+ Αν-1 x ^ (ν-1 ) + Αν x ^ (ν )  οι σχέσεις των συντελεστών με τις ρίζες είναι:

 

Α1 = - ∑ 1/ Ρ1    ,   Α2 = ∑  1/ Ρ1 Ρ2  κ.ο.κ

 

και άρα στην περίπτωση μας

 

Α1 = (- 1 / 3!)  = - ( 1/ π² + 1/ 2² π² + 1/ 3² π² + 1 / 4² π² + .....)

 

1 + 1/2² + 1/3²+.......1/ n² ........ = π²/6                (1)

 

όμως:

 

∑ 1/ν² = 1 + 1/2² + 1/3²+.......1/ n² ........                  (2)

 ν=1

 

Από τις σχέσεις (1) και (2)   έχουμε:

 

  

    1/ν² = π²/6

 ν=1

 

Αυτό είναι το ζητούμενο άθροισμα της άπειρης σειράς των αντίστροφων τετραγώνων. Η απόδειξη έχει ολοκληρωθεί.

 

Σημειώσεις.

 

1. Πώς αποδεικνύεται η σύγκλιση ή απόκλιση της σειράς των αντίστροφων τετραγώνων; Την απάντηση μας την δίνει το κριτήριο του ολοκληρώματος για καθορισμό της σύγκλισης ή απόκλισης.

 

Το κριτήριο του ολοκληρώματος

 

Μια σειρά με μη αρνητικούς όρους, η οποία είναι συνεχής και μονότονα φθίνουσα, συγκλίνει όταν το ορισμένο ολοκλήρωμα της συνάρτησης της σειράς με ανώτατο όριο το άπειρο και κατώτατο ορισμένο θετικό αριθμό είναι πεπερασμένος θετικός αριθμός. Στην αντίθετη περίπτωση αν η τιμή του ορισμένου ολοκληρώματος είναι το άπειρο, τότε η σειρά μας αποκλίνει.

 

Στην περίπτωση μας για να ελέγξω την σύγκλιση ή απόκλιση της σειράς

 

                                     

  1/ν²     υπολογίζω το  δ ν / ν²

ν=1                                              1

 

                           

 δ ν / ν²  = (- 1/ν )   = ( 0 + 1 ) = 1  και άρα αφού το ολοκλήρωμα ισούται με ορισμένο

1                                      1

 

θετικό αριθμό, η σειρά μας συγκλίνει.

 

Μιχάλης Α. Πόλης

 

Επιτρέπεται η αναδημοσίευση μέρους ή του συνόλου του άρθρου αυτού με αναφορά στον συγγραφέα και στην ιστοσελίδα που τον φιλοξενεί.

 

 

 

Εκπαιδευτικό Υλικό

 

facebook Twitter YouTube
Τελευταία Ενημέρωση:
Πέμπτη,
09/05/2019 11:38