Α.Κί.ΔΑ

 

 

 

 

Ποιοι είναι Online

Έχουμε 220 επισκέπτες συνδεδεμένους

 

 

Η γνώμη σας μετρά

Για ποια θα θέλατε να ενημερώνεστε περισσότερο σε αυτή τη σελίδα;






Αποτελέσματα

ΑΚΙΔΑ Facebook

Υπολογισμός του π υπό την μορφή απείρου γινομένου κατά Viete

Το π ως άπειρο γινόμενο κατά Viete

 

Ο άρρητος και υπερβατικός αριθμός π, δηλαδή ο λόγος περιφέρειας προς διάμετρο κύκλου¹, αποτέλεσε πάντοτε αντικείμενο μελέτης των μαθηματικών, οι οποίοι προσπάθησαν να τον εκφράσουν υπό μορφή άπειρου αθροίσματος ή γινομένου. Κατωτέρω θα παρουσιάσουμε το π ως άπειρο γινόμενο, με βάση την εργασία του μαθηματικού Viete

Ο Viete τον όποιο έχουμε αναφέρει ξανά στο άρθρο για την τριγωνομετρική επίλυση της τριτοβάθμιας εξίσωσης, υπολόγισε το π σε μορφή απείρου γινομένου. Την εργασία αυτή θα  παρουσιάσουμε πιο κάτω:

 

Θα θεμελιώσουμε την παρουσίαση της εργασίας του Viete  πάνω στον τύπο του De Moivre³ ο οποίος αντιμετωπίζει το πρόβλημα της ύψωσης μιγαδικού αριθμού σε κάποια δύναμη.

 

Αναφερόμαστε στο γνωστό τύπο

 

( συν θ/a + i ημ θ/a ) ª = συν θ + i ημ θ

 

Ο οποίος θα αποτελέσει την βάση τις απόδειξης μας αφού θέτοντας a = 2 έχουμε:

 

( συν ½ θ  + i ημ  ½ θ ) ² = συν θ + i ημ θ

 

→ συν² ½ θ  -  ημ²  ½ θ + 2 i ημ ½ θ συν ½θ = συν θ + i ημ θ

 

Εξισώνοντας τα πραγματικά και τα φανταστικά μέρη της εξίσωσης έχουμε

 

συν θ = συν² ½ θ  -  ημ²  ½ θ                  (1)

 

και

 

ημ θ = 2 ημ ½ θ συν ½ θ                        (2)

 

Πώς μπορούμε όμως με βάση τα προαναφερθέντα να εκφράσουμε το π ως άπειρο γινόμενο;

 

Η απάντηση είναι ότι  στη εξίσωση (2) θα χτίσουμε το άπειρο γινόμενο του Viete.

 

Έχουμε:

 

ημ θ = 2 ημ ½ θ συν ½θ

 

όμως:

 

ημ ½ θ = 2 ημ ¼ θ συν ¼ θ

 

→ ημ θ = 4 συν ½ θ συν ¼ θ ημ ¼ θ                       (3)

 

Αντικαθιστώντας το ημ ¼ με 2 ημ θ συν θ έχουμε:

 

ημ θ = 8 συν ½ θ συν ¼ θ συν θ ημ θ        (4)

 

η αντικατάσταση αυτή μπορεί να γίνει άπειρες φορές οπότε καταλήγουμε στο άπειρο γινόμενο:

 

ημ θ = 2 ª συν ½ θ συν ¼ θ συν θ.....συν θ/2 ª ημ  θ/2 ª

 

  ( ημ θ ) / θ = συν ½ θ συν ¼ θ συν θ.....συν θ/2 ª [ ( ημ  θ/2 ª ) / ( θ / 2 ª ) ]

 

Όμως θ/2ª → 0 όταν a → ∞  και άρα [ ( ημ  θ/2 ª ) / ( θ / 2 ª ) ] → 1 , αφού όταν η επίκεντρος γωνία είναι πολύ μικρή, τότε η χορδή και το τόξο που αντιστοιχούν σε αυτή τείνουν να ταυτιστούν και το ημίτονο τείνει να εξισωθεί με την μετρημένη σε ακτίνια γωνία.

 

  ( ημ θ ) / θ = συν ½ θ συν ¼ θ συν θ.....συν θ/2 ª.... .

 

Θέτοντας θ = π/2 έχουμε:

 

2/π  = συν π/4  συν π/8 συν π/16.....συν π/2 ª .

 

Δηλαδή:

∏ συν ( π / 2ª ) = 2/π

a = 2

 

ή αναλυτικότερα:

 

 → 2/π = (½ √2)  [½ √ ( 2 + √ 2 ) ] ½ √ [2 + √ (2 + √ 2 )]......   

 

Παραλλαγές

 

Αν στον τύπο ( ημ θ ) / θ = συν ½ θ συν ¼ θ συν θ.....συν θ/2ª .....

 

1. Θέσουμε θ = π/3,  έχουμε:

 

(ημ π/3 )/ π/3 = συν π/6 συν  π /12 συν π/24...συν π / 3.2ª...

 

Επειδή ημ π/3 = συν π/6 μπορούμε να απλοποιήσουμε τους δύο όρους. Έχουμε:

 

3/π = συν π/12 συνπ/24...συν π/ 3.2ª...

 

Δηλαδή:

 

∏ συν ( π / 3. 2ª ) = 3/π

a = 2

 

Ή σε αναλυτική μορφή:

 

( 3 / π ) = ½ √ (2 +√ 3 ) ½ √ [2+ √ ( 2 + √ 3 ) ] ½ √ {2+√ [ 2 + √ ( 2 + √ 3 )] }...... 

 

2. Αν θέσουμε θ = 3π/10 έχουμε:

 

ημ 3π/10 = ¼ ( 1 + √5 ) = ½ Φ όπου Φ ο αριθμός της χρυσής τομής και Φ = ½ ( 1+√ 5 )

 

→ ( ημ 3π/10 )/ (3π/10) = συν 3π/20 συν 3π/40...συν 3π/ 5.2ª...

 

Δηλαδή:

∏ συν (3 π / 5. 2ª ) = 5Φ/3π

a = 2

 

ή  σε αναλυτική μορφή:

 

→ ( 5 Φ / 3 π ) = ½ √ [2 +√ (4 - Φ² )] ½ √{ 2+ √ [2 +√ (4 - Φ² )] }...... 

 

→ ( 1 / 3 π ) = (Ι/5Φ) { ½ √ [2 +√ (4 - Φ² )] ½ √{ 2+ √ [2 +√ (4 - Φ² )] }......  }

 

Όμως 1/Φ = Φ – 1 και άρα ο προηγούμενος τύπος μπορεί να γραφεί ως

 

1 / 3 π =[ ( Φ – 1 ) / 5 ]{ ½ √ [2 +√ (4 - Φ² )] ½ √{ 2+ √ [2 +√ (4 - Φ² )] }......  }

 

Με τον τύπο αυτό έχουμε εκφράσει  το π σε συνάρτηση με τον αριθμό της χρυσής τομής.

Με χρήση του τύπου του Viete μπορούμε να γράψουμε και άλλες παρόμοιες εκφράσεις.

 

Σημειώσεις

 

1. Ο αριθμός π είναι άρρητος, δηλαδή δεν μπορεί να γραφεί ως λόγος δύο φυσικών αριθμών. Επίσης είναι υπερβατικός δηλαδή δεν είναι ρίζα αλγεβρικού πολυωνύμου με ακέραιους συντελεστές.

 

2. Ο Francois Viete ( 1540 -1603 ) ήταν Γάλλος μαθηματικός με ουσιαστική συνεισφορά στη θεμελίωση της μοντέρνας Άλγεβρας.

 

3. Ο Abraham De Moivre (1664-1757) ήταν Γάλλος μαθηματικός. Οι εργασίες του συνέβαλαν στην πρόοδο της Τριγωνομετρίας και της θεωρίας των πιθανοτήτων.

 

Μιχάλης Α. Πόλης

 

Επιτρέπεται η αναδημοσίευση μέρους ή του συνόλου του άρθρου αυτού με αναφορά στον συγγραφέα και στην ιστοσελίδα που τον φιλοξενεί.

 

 

Εκπαιδευτικό Υλικό

 

facebook Twitter YouTube
Τελευταία Ενημέρωση:
Παρασκευή,
12/07/2019 10:28