Α.Κί.ΔΑ

 

 

 

 

Ποιοι είναι Online

Έχουμε 168 επισκέπτες συνδεδεμένους

 

 

Η γνώμη σας μετρά

Για ποια θα θέλατε να ενημερώνεστε περισσότερο σε αυτή τη σελίδα;






Αποτελέσματα

ΑΚΙΔΑ Facebook

Δευτεροβάθμιες εξισώσεις με συντελεστές διαδοχικούς αριθμούς Fibonacci

Μιχάλης Α. Πόλης Εκπαιδευτικός

Η αναδρομική ακολουθία Fibonacci  με όρους

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,34, 55, 89,… Α ν-1, Αν, Α ν+1 , Α ν+2 …

για την οποία ισχύει ότι κάθε επόμενος όρος είναι το άθροισμα των δύο προηγούμενων¹ σχετίζεται με τον αριθμό Φ = της χρυσής τομής, εφόσον το πηλίκο Αν /  Α ν-1 τείνει στο Φ όσο το ν παίρνει μεγαλύτερες τιμές και τείνει  στο θετικό άπειρό.  Έτσι τα καταχρηστικά κλάσματα

5/3 = 1,666..

8/5 = 1,6

13/8 = 1,625

21/13 = 1,615384615..

34/21 = 1,619047619

55/34 = 1617647059

……………………………….

Αν /  Α ν-1

προσεγγίζουν τον άρρητο² αριθμό Φ εναλλάξ από τις μικρότερες και τις μεγαλύτερες τιμές.

Τι σχέση όμως μπορεί να έχουν οι αριθμοί Fibonacci με τις γνώστες μας από το γυμνάσιο δευτεροβάθμιες εξισώσεις; Στο άρθρο αυτό θα καταγράψω κάποιους πειραματισμούς που έκανα τις ώρες της καλοκαιρινής σχόλης, όταν η ρουτίνα και το άγχος του σχολείου ήταν  απόντα. Έγραψα δευτεροβάθμιες εξισώσεις με συντελεστές διαδοχικούς αριθμούς της ακολουθίας Fibonacci για να δω αν προκύπτει ο αριθμός της χρυσής τομής μέσα στις ρίζες τους.

Δευτεροβάθμιες εξισώσεις με συντελεστές Fibonacci

Η πλήρης δευτεροβάθμια εξίσωση έχει τη μορφή  αχ² + β χ + γ =0 όπου η μεταβλητή χ μπορεί να πάρει κάθε τιμή στο διάστημα μεταξύ του θετικού και του αρνητικού απείρου,.Το τριώνυμο   , παίρνει τιμές (ορίζεται) στο άπειρο σύνολο των πραγματικών αριθμών για κάθε τιμή του χ που είναι πραγματικός αριθμός.  Οι συντελεστές α, β, γ είναι σταθερές, δηλαδή αμετάβλητοι, καθορισμένοι  πραγματικοί αριθμοί.


Ας πάρουμε λοιπόν την εξίσωση  και ας παίξουμε με τους αριθμούς Fibonacci θέτοντας

α = Α ν-2,

β = - Α ν

και

γ = Α ν-1

Οι  Α ν-2, Α ν-1, Αν είναι τρεις τυχαίοι  διαδοχικοί αριθμοί  Fibonacci, ανάλογα βέβαια με την τιμή που αυθαίρετα  θα δώσουμε κάθε φορά στο ν. Ο ν αφού φανερώνει σειρά προφανώς είναι θετικός ακέραιος αριθμός μεγαλύτερος του 3. [  ν ≥ 4, ν ]. Ας πειραματιστούμε γράφοντας  τις σχετικές εξισώσεις για 4 ≤ ν ≤ 10 για να εξοικειωθούμε και  να υπολογίσουμε τις ρίζες τους. Άραγε αυτές οι ρίζες θα έχουν κάποια σχέση με τον αριθμό Φ;

Πίνακας 1: Εξισώσεις της μορφής Α ν-2 Χ² - Αν Χ + Α ν-1 = 0 για 4 ≤ ν ≤ 10

ν

Εξίσωση Β΄ βαθμού

√ Δ

Ρ1

Ρ2

4

Χ² -3Χ + 2 = 0

1

2

1

5

2Χ² -5Χ + 3 = 0

1

3/2

1

6

3Χ² -8Χ + 5 = 0

2

5/3

1

7

5Χ² -13Χ + 8 = 0

3

8/5

1

8

8Χ² -21Χ + 13 = 0

5

13/8

1

9

13Χ² -34Χ + 21 = 0

8

21/13

1

10

21Χ² -55Χ + 34 = 0

13

34/21

1

Από τις εξισώσεις που παραθέσαμε φαίνεται να προκύπτει ότι κάθε εξίσωση της μορφής

Α ν-2 Χ² - Α ν Χ + Α ν-1 = 0 έχει δύο θετικές ρίζες Ρ1 ,Ρ2 εκ των οποίων η  Ρ1 = [Α ν-1 / Α ν-2 ] και η Ρ2 = 1. Είναι φανερό ότι αν η πιο πάνω ιδιότητα ισχύει γενικά, κάτι το οποίο πρέπει βέβαια να αποδείξουμε, η Ρ1 →  Φ όταν  ν → ∞ . Κάτι άλλο που επίσης φαίνεται να προκύπτει, είναι ότι  η ρίζα της διακρίνουσας της εξίσωσης μας είναι αριθμός   Fibonacci τάξεως ν – 3 δηλαδή √Δ = Α ν-3 . Τα πιο πάνω όμως εκ πρώτης όψεως συμπεράσματα πρέπει να τα αποδείξουμε. Αυτό θα το προσπαθήσουμε πιο κάτω.

Α. Πρώτη πρόταση: Να αποδειχθεί ότι η διακρίνουσα της εξίσωσης Α ν-2 Χ² - Αν Χ + Α ν-1 = 0 ισούται με Α² ν-3 , όπου Α ν-3 , Α ν-2 , Α ν-1 , Α ν τέσσερις τυχαίοι διαδοχικοί όροι της ακολουθίας Fibonacci. [ν ≥ 4]

Μέθοδος απόδειξης: Μαθηματική Επαγωγή

  1. Έλεγχος της πρότασης για την αρχική τιμή ν =4

Για ν = 4 έχουμε:

Α 2 Χ² - Α4 Χ + Α 3 = 0

Χ² -  3Χ + 2 = 0

Δ = 3² - 4.2 = 1 και προφανώς ισχύει αφού

Δ = Α²1

Επαγωγική υπόθεση: υποθέτουμε ότι η πρόταση  είναι αληθής για κάποιο  ν = κ, όπου κ τυχαίος αριθμός Fibonacci δηλαδή ότι αν Α κ-2 Χ² - Ακ Χ + Α κ-1 = 0

τότε Α²κ – 4 Α κ-1 Α κ-2 = Α²κ-3

  1. Επαγωγική απόδειξη για ν = κ+1 και συνακόλουθα για κάθε ν

Προσπαθούμε να αποδείξουμε την επαγωγική υπόθεση για ν = κ+1

Αν στην εξίσωση Α κ-2 Χ² - Ακ Χ + Α κ-1 = 0  θέσουμε ν = κ+1 τότε προκύπτει η εξίσωση

Α κ-1 Χ² - Α κ+1 Χ + Α κ = 0  της οποίας η Διακρίνουσα  Α²κ+1 – 4 Α κ-1 Ακ πρέπει να αποδειχθεί ίση με  Α²κ-2 . Αυτό θα προσπαθήσουμε να καταδείξουμε πιο κάτω:

Α²κ+1 – 4 Α κ-1 Ακ = (Ακ + Ακ-1 )² – 4 Α κ-1 Α κ

Α²κ+1 – 4 Α κ-1 Ακ = Α²κ + Α²κ-1  – 2 Α κ-1 Ακ

Α²κ+1 – 4 Α κ-1 Ακ = (Ακ – Α κ-1) ²

Α²κ+1 – 4 Α κ-1 Ακ = (Α κ-1  + Α κ-2  - Α κ-1) ²

Α²κ+1 – 4 Α κ-1 Ακ = Α²κ-2

Εφόσον η επαγωγική πρόταση έχει αποδειχθεί για ν = κ+1 είναι φανερό ότι ισχύει για κάθε ν αφού αν θέσουμε κ=4, είναι φανερό ότι ισχύει για κ =5, για κ=5 ισχύει για κ=6 κοκ.

Β. Δεύτερη Πρόταση: Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση Α ν-2 Χ² - Αν Χ + Α ν-1 = 0 έχει ρίζες

Ρ1 = Α ν-1 / Α ν-2 και Ρ2 = 1

Απόδειξη:

Εφαρμόζουμε τον τύπο υπολογισμού ρίζας δευτεροβάθμιας εξίσωσης στην

Α ν-2 Χ² - Αν Χ + Α ν-1 = 0.

Ρ 1,2 =( Αν ± Α ν-3)/2 Α ν-2

Ρ1=( Αν + Α ν-3)/2 Α ν-2

Ρ1=[ Α ν-1 + (Α ν-2 + Α ν-3)] /2 Α ν-2

Ρ1=2 Α ν-1 /2 Α ν-2

Ρ1=Α ν-1 / Α ν-2 όπερ έδει δείξαι

Ομοίως:

Ρ2=( Αν -  Α ν-3)/2 Α ν-2

Ρ2 =( Α ν-1 + Α ν-2 -  Α ν-3)/2 Α ν-2

Ρ2 =( Α ν-2 + Α ν-2 + Α ν-3 -  Α ν-3)/2 Α ν-2

Ρ2 = 2 Α ν-2 /2 Α ν-2

Ρ2 = 1 Όπερ έδει δείξε το οποίο ερμηνεύεται η απόδειξη έχει ολοκληρωθεί.

Επίλογος

Οι ευκαιρίες για δημιουργικό παιγνίδι με τα μαθηματικά, ελαχιστοποιούνται με το τέλος του καλοκαιριού και την ανάγκη για σκληρή δουλειά στην τάξη και στη διοίκηση του σχολείου. Θα προτιμούσα βέβαια αντί να διεκπεραιώνω την άχαρη εργασία της εκπόνησης του σχολικού προγράμματος, να ασχολούμαι με άλλα μαθηματικά θέματα..αλλά δεν μπορεί κάποιος να τα έχει όλα σε αυτό τον κόσμο. Ελπίζω όμως να ξεκλέβω που και που λίγο χρόνο και να δραπετεύω στον όμορφο κόσμο των Μαθηματικών.

Σημειώσεις

  1. Τρεις αριθμοί Αν,   Αν-1 και  Α ν-2 με ν>2 είναι διαδοχικοί όροι της ακολουθίας Fibonacci όταν ισχύει ότι  Αν =  Α ν-1 +  Α ν-2 και Α1  = Α2 =1
  1. Άρρητος είναι ο αριθμός που δεν μπορεί να γραφεί ως λόγος δύο φυσικών αριθμών. Ο αριθμός

Φ =    1,6180339887498948482045868343656…είναι άρρητος και έχει άπειρα μη επαναλαμβανόμενα δεκαδικά ψηφία.

  1. Αν συμβολίσουμε με κεφαλαίο Δ τη διακρίνουσα της δευτεροβάθμιας εξίσωσης

α χ² + β χ + γ = 0, τότε Δ = β² - 4αγ. Η διακρίνουσα καθορίζει το είδος των ριζών της εξίσωσης αφού αν Δ ≥ 0 τότε οι ρίζες είναι πραγματικές και αν Δ < 0 μιγαδικές.

Επιτρέπεται η αναδημοσίευση μέρους ή όλου του άρθρου με αναφορά στο όνομα του συγγραφέα.

 

Εκπαιδευτικό Υλικό

 

facebook Twitter YouTube
Τελευταία Ενημέρωση:
Κυριακή,
02/06/2019 11:22