Α.Κί.ΔΑ

 

 

 

 

Ποιοι είναι Online

Έχουμε 171 επισκέπτες συνδεδεμένους

 

 

Η γνώμη σας μετρά

Για ποια θα θέλατε να ενημερώνεστε περισσότερο σε αυτή τη σελίδα;






Αποτελέσματα

ΑΚΙΔΑ Facebook

Βοεικό πρόβλημα: Η άλυτη σπαζοκεφαλιά του Αρχιμήδη

Μιχάλης Α. Πόλης Εκπαιδευτικός

Εισαγωγή

Όπως και οι σύγχρονοι επιστήμονες, έτσι και οι αρχαίοι Έλληνες μαθηματικοί συχνά βρίσκονταν σε οξύ ανταγωνισμό μεταξύ τους. Έθεταν ο ένας στον άλλο δύσκολα  προβλήματα, πραγματικές σπαζοκεφαλιές και  προκαλούσαν τους ανταγωνιστές τους να τα λύσουν. Τέτοια γνωστά προβλήματα, που έμειναν παροιμιώδη είναι ο τετραγωνισμός του κύκλου, η τριχοτόμηση της οξείας γωνίας και ο διπλασιασμός του κύβου. Υπάρχουν όμως και άλλα λιγότερο γνωστά, πλην όμως εξίσου δύσκολα και συναρπαστικά. Στα πλαίσια αυτά θα παρουσιάσουμε το λεγόμενο «Βοεικό Πρόβλημα» το οποίο ο γίγαντας της αρχαίας μαθηματικής σκέψης, ο Αρχιμήδης, έστειλε στο δάσκαλο και φίλο του Ερατοσθένη, υπό τη μορφή ποιήματος  προκαλώντας τον να το λύσει. Σε σύγχρονη γλώσσα ο γρίφος αποδίδεται περίπου ως εξής:

Το πλήθος των βοδιών του θεού Ήλιου, που βόσκουν στις πεδιάδες της Σικελίας μέτρησε, αν μετέχεις της σοφίας, συναριθμώντας όσα θα πω πιο κάτω: Τα βόδια του ήλιου που βόσκουν στις πεδιάδες της τριγωνικής νήσου Σικελίας,  διαιρούνται σε τέσσερις αγέλες τη λευκή, τη μαύρη, τη ξανθή και την ανάμικτη και κάθε αγέλη περιέχει ταύρους και αγελάδες του ιδίου χρώματος. Σε κάθε αγέλη υπάρχουν ταύροι με βάση τις ακόλουθες αναλογίες: Οι λευκοί ταύροι ισούνται με τους ξανθούς συν το άθροισμα του ενός δευτέρου και του ενός τρίτου των μαύρων. Οι μαύροι ταύροι ισούνται με τους ξανθούς συν το άθροισμα του ενός τετάρτου και του ενός πέμπτου των ανάμικτων. Οι ανάμικτοι ταύροι ισούνται με τον αριθμό των ξανθών, επαυξημένων κατά το άθροισμα του ενός έκτου και του ενός εβδόμου των λευκών ταύρων. Οι λευκές αγελάδες ισούνται με το άθροισμα του ενός τρίτου και του ενός τετάρτου του συνόλου της μαύρης αγέλης. Οι μαύρες αγελάδες  ισούνται με το άθροισμα του ενός τετάρτου και του ενός πέμπτου του συνόλου της  αγέλης ανάμικτου χρώματος. Οι αγελάδες ανάμικτου χρώματος ισούνται με το άθροισμα του ενός πέμπτου  και του ενός έκτου του συνόλου της  ξανθής αγέλης. Οι ξανθές αγελάδες ισούνται με το άθροισμα του ενός έκτου  και του ενός εβδόμου του συνόλου της  λευκής αγέλης. Το άθροισμα των λευκών και των μαύρων ταύρων είναι τετράγωνος αριθμός, ενώ το άθροισμα των ξανθών και των ανάμικτων ταύρων τρίγωνος. Αν υπολογίσεις τον ακριβή αριθμό των αγελάδων  και των ταύρων κάθε αγέλης τότε μπορείς να συγκαταλέγεις τον εαυτό σου στην ομάδα των τέλειων σοφών.»

Το πρόβλημα βρέθηκε σε αρχαίο χειρόγραφο στη βιβλιοθήκη της γερμανικής πόλης Wolfenbuttel από τον βιβλιοθηκάριο Gotthold Ephraim Lessing το 1773. Πιθανολογείται ότι το χειρόγραφο ήταν λεία κάποιου σταυροφόρου που το μετέφερε στη Γερμανία το 13ο αιώνα από το Βυζάντιο, αφού συνοδεύεται από σχόλιο στη λόγια γλώσσα της μέσης βυζαντινής εποχής. Στο σχόλιο καταγράφεται η αποτυχημένη προσπάθεια του βυζαντινού σχολιαστή να το λύσει. Έκτοτε οι Ευρωπαίοι μαθηματικοί προσπάθησαν να λύσουν το πρόβλημα, η λύση του οποίου θεωρητικά είναι βατή, αφού ανάγεται σε ανοικτό διοφαντικό σύστημα δέκα   αγνώστων με 9 εξισώσεις ως εξής:

Έστω ότι ορίζουμε τις μεταβλητές του προβλήματος με την ακόλουθα γράμματα:

Λ = λευκοί ταύροι, Ξ = ξανθοί ταύροι, Μ = μαύροι ταύροι , Α = ταύροι ανάμικτου χρώματος,

λ = λευκές αγελάδες, ξ = ξανθές αγελάδες, μ = μαύρες αγελάδες, α = αγελάδες ανάμικτου χρώματος.

Συνακόλουθα, με βάση την εκφώνηση του προβλήματος προκύπτουν οι ακόλουθες εξισώσεις:

①  6 Λ = 5 Μ + 6 Ξ

②  20 Μ = 9 Α + 20 Ξ

③   42 Α = 13 Λ + 42 Ξ

④   12 λ = 7 (Μ + μ )

⑤   20μ = 9 (Α + α )

⑥   30 α = 11 ( Ξ + ξ )

⑦   42 ξ = 13 ( Λ + λ )

⑧   Λ   + Μ = ν²

⑨   Ξ + Α = μ ( μ+1 ) /2

Το πρόβλημα φαινομενικά είναι απλό, όμως οι αριθμοί που προκύπτουν ως λύσεις του είναι πάνω και πέρα από τις ανθρώπινες υπολογιστικές ικανότητες, αφού αποδείχτηκε με χρήση ισχυρότατων ηλεκτρονικών υπολογιστών ότι πρόκειται για οκτώ αριθμούς με 206545 ψηφία ο καθένας. Αν υποθέσουμε ότι μια σελίδα χωρεί 2500 ψηφία, τότε μόνο για να γραφούν  οι οκτώ  αριθμοί χρειάζεται ένα βιβλίο με 661 σελίδες! Προφανώς ο Αρχιμήδης δεν είχε λύσει το πρόβλημα του, αλλά ήθελε μόνο να τρομάξει τους Μαθηματικούς της Αλεξάνδρειας με τη δυσκολία του!  Ήθελε ίσως να διδάξει ότι υπάρχουν αριθμοί χαοτικά μεγάλοι, κυριολεκτικά ασύλληπτοι από τον ανθρώπινο νου.

Απλοποιώντας το πρόβλημα:

Αν πάρουμε τις τρεις πρώτες εξισώσεις, των οποίων οι μεταβλητές αφορούν τους ταύρους, έχουμε ένα σχετικά απλό διοφαντικό σύστημα με τέσσερις άγνωστους τους Α, Λ, Μ, Ξ. Εύκολα μπορούμε να υπολογίσουμε ότι οι πρώτες ακέραιες τιμές που επαληθεύουν το σύστημα των εξισώσεων  ①, ②, ③ είναι Α = 1580, Λ = 2226, Μ= 1602, Ξ = 891

Φυσικά οι τιμές αυτές δεν δίνουν ακέραιες λύσεις για τον αριθμό των αγελάδων, ούτε ο αριθμός 2226+1602= 3828 είναι τετράγωνος, ούτε ο αριθμός 2471 τρίγωνος! Σε κάθε περίπτωση όμως το πρόβλημα των βοδιών του ήλιου είναι ένα γοητευτικά δύσκολο πρόβλημα που μπορεί να φέρει τη νοημοσύνη μας στα όρια της!

 

Εκπαιδευτικό Υλικό

 

facebook Twitter YouTube
Τελευταία Ενημέρωση:
Τετάρτη,
11/10/2017 16:53