Α.Κί.ΔΑ

 

 

 

 

Ποιοι είναι Online

Έχουμε 107 επισκέπτες συνδεδεμένους

 

 

Η γνώμη σας μετρά

Για ποια θα θέλατε να ενημερώνεστε περισσότερο σε αυτή τη σελίδα;






Αποτελέσματα

ΑΚΙΔΑ Facebook

Ο Girolamo Cardano επιλύει την πλήρη κυβική εξίσωση

Η επίλυση της πλήρους τριτοβάθμιας εξίσωσης

 

Ο Μαθηματικός Cardano¹ έλυσε την πλήρη κυβική εξίσωση , μετασχηματίζοντας την σε ελλιπή χωρίς όρο δευτέρου βαθμού. Μετά υπολόγισε μια των ριζών της  με βάση τον τύπο του Del Ferro. Αυτό οδήγησε στην μετατροπή της σε δευτεροβάθμια, της οποίας η λύση είναι εύκολη.

 

Η πλήρης τριτοβάθμια εξίσωση έχει τη μορφή

 

 χ³ +αχ² +βχ+γ=0                                        (όπου  α, β, γ σταθεροί, πραγματικοί αριθμοί ).

 

Ο μετασχηματισμός και η λύση

 

Ο Cardano για να κάνη απαλοιφή του όρου αχ²  έθεσε χ = ψ – α/3 και μετάτρεψε την πλήρη εξίσωση ως προς χ σε ελλιπή τριτοβάθμια ως προς ψ.

 

χ³ +αχ² + βχ +γ = (ψ-α/3) ³ + α(ψ-α/3) ² +β (ψ-α/3)+γ

 

→ ψ³ -α ψ² + (α² ψ)/3- α³/27 + α ψ² - (2 α² ψ)/3 + α³/9 + β ψ – (α β)/3 +γ =0

 

→ ψ³ - α³/27 + α³/9– (α β)/3 +γ =0

 

→ ψ³ - α³/27 - (α² ψ)/3 + α³/9 + β ψ – (α β)/3 +γ =0

 

→ ψ³ +ψ (β -α²/3 ) + (γ – αβ/3 + 2α³/27 ) =0

 

Η οποία λύεται με βάση τον τύπο του Del Ferro ως εξής:

 

Θέτω δ = (β -α²/3 ) και ε = (γ - αβ/3   +  2α³/27  )

 

Η εξίσωση μας παίρνει την μορφή

 

 ψ³ + δ ψ + ε = 0

 

Η δε λύση της είναι με βάση τον τύπο του  Del Ferro

 

ψ = ³√[- ε/2 +√ (  ε ²/4 +  δ ³/27)] +³√ [-ε/2 -√ (  ε ²/4 +  δ ³/27)]

 

και άρα με βάση τον πρώτο μετασχηματισμό

 

→ χ =³√[- ε/2 +√ (  ε ²/4 +  δ ³/27)] +³√ [-ε/2 -√ (  ε ²/4 +  δ ³/27)]– α/3

 

Όπου δ = (β -α²/3 ) και ε = (γ - αβ/3   +  2α³/27  ). Αν αντικαταστήσουμε το δ και ε με τις τιμές τους ως προς α, β, γ έχουμε:

 

→ χ = ³√ {[ ½ (α β/3 – γ -  2α³/27 ) +√[ (γ - αβ/3   +  2α³/27  ) ²/4 +   (β -α²/3 )³/27)] }

 

+ ³√ {[ ½ (α β/3 – γ -  2α³/27 ) -√[ (γ - αβ/3   +  2α³/27  ) ²/4 +   (β -α²/3 )³/27)] }

 

Παράδειγμα 1ον

 

 Να λυθεί η εξίσωση χ³ -6χ² +11χ -6=0

 

Εφόσον α = - 6, με βάση τον 1ο μετασχηματισμό έχουμε χ = ψ +2

 

  (ψ +2)³ - 6 (ψ +2)² +11 (ψ +2) – 6 =0

 

→ ψ³ + 6 ψ² + 12 ψ +8 - 6 ψ² - 24 ψ -24 +11ψ +22 -6 = 0

 

→ ψ³ - ψ  = 0  

 

→ ψ (ψ +1) ( ψ – 1 )  = 0  

 

→ ψ= 1 ή ψ = - 1 ή ψ = 0

 

Αφού όμως χ = ψ +2, προκύπτει ότι:

 

Χ1 = 3,  Χ2 = 1 Χ3 = 2

 

Παράδειγμα 2ον

 

 Να λυθεί η εξίσωση χ³ -7χ² +17χ -15=0                   (1)

 

Εφόσον α = - 7  με βάση τον  μετασχηματισμό χ = ψ - ⅓ α,    προκύπτει χ = ψ +7/3

 

  (ψ +7/3)³ - 7 (ψ +7/3)² +17 (ψ +7/3) – 15 =0

 

ψ³ + 7 ψ² + 7² ψ /3 + 7³/3³ - 7 ψ² - 2. 7² ψ /3 - 7³/3² + 17ψ + 119  /3 – 15 = 0

 

ψ³ + 7³/3³  -  7² ψ /3 - 7³/3² + 17ψ + 119  /3 – 15 = 0

 

ψ³ + ψ ( 17 – 49/3 ) + ( 74/3 – 2. 7³/3³ ) = 0

 

Μετά από την εκτέλεση των πράξεων και την αναγωγή των ομοίων όρων προκύπτει:

 

→ ψ³ + ψ – 20/27 = 0

 

Εφαρμόζοντας τον τύπο του Del Ferro έχουμε:

 

Χ1 = ³√ [ 10/27 + √ ( 10²/27² + 2³ / 3³ ) ] + ³√ [ 10/27 - √ ( 10²/27² + 2³ / 3³ ) ] + 7/3

 

→ Χ1 = 3

 

Ακολούθως διαιρούμε την εξίσωση (1) με χ – 3 για να υπολογίσουμε τις Χ2 και  Χ3

 

( χ³ -7χ² +17χ -15 ) :  ( χ – 3 ) = χ² - 4 χ + 5

 

Θέτουμε

 

χ² - 4 χ + 5 = 0 και εφαρμόζουμε το γνωστό τύπο επίλυσης της δευτεροβάθμιας

 

Χ2 ,3 =[ 4 ± √ ( 16 – 20 ) ] / 2

 

→Χ2 = 2 + i  και   Χ3 = 2 - i 

 

Παράδειγμα 3

 

 Να λυθεί η εξίσωση χ³ - 2 ( 1 + √ 3) χ² + 4 ( 1 + √ 3) χ - 8=0                   (1)

 

Θέτουμε ( 1 + √ 3) = κ και η (1) παίρνει τη απλούστερη μορφή:

 

χ³ - 2 κ χ² + 4 κ χ - 8=0                   (2)

 

Ακολούθως θέτουμε χ = ψ + κ για να μετατρέψουμε τη (2) σε ελλιπή τύπου Del Ferro

 

  (ψ +2κ/3)³ - 2 κ (ψ +2κ/3)² + 4 κ (ψ +2κ/3) – 8 =0

 

Η οποία μετά την εκτέλεση των πράξεων παίρνει τη μορφή:

 

→ ψ³ +  ψ ( 4κ – 4κ²/ 3 ) + [ ( 8 κ² /3 )  - ( 16 κ ³/ 27 ) – 8 ]= 0          (3)

 

Αντικαθιστώντας το κ με  1 + √ 3   η εξίσωση (3) παίρνει τη μορφή:

 

ψ³ + ⅓ ψ ( √3 – 1 ) + ( 8/ 27 ) ( 6 √ 3  - 11 )= 0

 

Εφαρμόζοντας τον τύπο του Del Ferro έχουμε:

 

Ψ1 = ³√{ [ - 4 (6√3 – 11 )/27 + √ [ 4²(6√3 – 11 )]/27² + 4³ ( √3 – 1 )³ / 27² ) ] }

 

+ ³√{ [ - 4 (6√3 – 11 )/27 - √ [ 4²(6√3 – 11 )]/27² + 4³ ( √3 – 1 )³ / 27² ) ] }

 

→ Ψ1 =  ⅓ ³√ [-24√ 3 +44 +12 √ (21– 12 √ 3 ) ]+ ⅓ ³√ [- 24 √ 3 + 44 -12 √ (21 – 12√ 3 ) ]

 

→ Ψ1 = ( 2 - √ 3 )

 

Όμως εκ του μετασχηματισμού χ = ψ + κ  προκύπτει:

 

Χ1 = ( 2 - √ 3 ) + ( 1 + √3 )

 

→ Χ1 = 3. ⅔

 

→ Χ1 = 2

 

Ακολούθως διαιρούμε την εξίσωση (1) με χ – 2 για να υπολογίσουμε τις Χ2 και  Χ3

 

χ³ - 2 ( 1 + √ 3) χ² + 4 ( 1 + √ 3) χ - 8:  ( χ – 2 ) = χ² - 2 √3 χ + 4

 

Από τη διαίρεση προκύπτει ως πηλίκο δευτεροβάθμιο τριώνυμο, του οποίου οι ρίζες εύκολα υπολογίζονται με το γνωστό τύπο επίλυσης δευτεροβάθμιας εξίσωσης:

 

χ² - 2 √3 χ + 4 = 0

 

Χ2 ,3 =[ 2 √3  ± √ ( 12 – 16 ) ] / 2

 

→Χ2 = √3 + i  και   Ρ3 = √3 - i 

 

Σημειώσεις

 

1. Ο Girolamo Cardano (1501 – 1576) επέκτεινε τη λύση της ελλιπούς τριτοβάθμιας του Del Ferro στην πλήρη τριτοβάθμια. Δημοσίευσε το πόρισμα του για το θέμα αυτό στο βιβλίο του Ars Magna το οποίο ήταν μια παρουσίαση των επιτευγμάτων της Άλγεβρας κατά το 16ο αιώνα. Στη σχετική αναφορά του, αναγνωρίζει τη συνεισφορά των Tartaglia και Del Ferro στη λύση της τριτοβάθμιας, παρόλα αυτά ο Tartaglia τον κατηγόρησε για κλοπή πνευματικής περιουσίας....

 

 

Μ. Πόλης.

 

Πνευματικά Δικαιώματα: Επιτρέπεται η αναδημοσίευση μέρους ή του συνόλου της πιο πάνω εργασίας με αναφορά στο όνομα του συγγραφέα και της ιστοσελίδας που τον φιλοξενεί.

 

 

Εκπαιδευτικό Υλικό

 

facebook Twitter YouTube
Τελευταία Ενημέρωση:
Παρασκευή,
02/08/2019 16:10